[논문 리뷰] Around Uncertainty Principles of Ingham-type on $\R^n$, $\T^n$ and Two Step Nilpotent Lie Groups

Mithun Bhowmik, Swagato K. Ray외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 31.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{T}^n$, 그리고 두 단계의 노름을 가진 리 군에서 인그람 유형의 불확실성 원리들을 수립하며, 컴팩트하게 지지된 함수나 반공간에 지지된 함수에 대한 고전적인 푸리에 급수 조건을 일반화한다. 이러한 함수들이 특정 지수 속도보다 더 빠르게 푸리에 변환이 감쇠한다면 그 함수는 식별적으로 0이 되며, 이러한 결과들은 유클리드 공간과 노름 군에서 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 해에 대한 유일한 연속성 성질을 확립하는 데 응용된다.

ABSTRACT

Classical results due to Ingham and Paley-Wiener characterize the existence of nonzero functions supported on certain subsets of the real line in terms of the pointwise decay of the Fourier transforms. We view these results as uncertainty principles for Fourier transforms. We prove certain analogues of these uncertainty principles on the $n$-dimensional Euclidean space, the $n$-dimensional torus and connected, simply connected two step nilpotent Lie groups. We also use these results to show a unique continuation property of solutions to the initial value problem for time-dependent Schrödinger equations on the Euclidean space and a class of connected, simply connected two step nilpotent Lie groups.

연구 동기 및 목표

• 실수선에서의 고전적인 인그람 및 펄레이-위너 불확실성 원리를 고차원 유클리드 공간, 토러스, 그리고 두 단계의 노름을 가진 리 군으로 확장한다.
• 푸리에 변환의 점별 감쇠 조건을 통해 열린 집합이나 반공간에 지지된 비영함수의 존재를 특성화한다.
• 이러한 불확실성 원리와 유클리드 공간 및 노름 군에서 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 해에 대한 유일한 연속성 성질 간의 연결을 수립한다.
• 노름 군에서의 조화 분석과 표현 이론을 사용하여 유클리드 설정의 결과를 비가환 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 열린 집합에서 0이 되는 함수에 대해 $\mathbb{R}^n$에서 인그람의 불확실성 원리의 다변수 버전을 증명하며, 감쇠 함수 $\theta(t)$에 대한 적분 조건을 사용한다.
• $\mathbb{R}^n$에서 반공간에 지지된 함수에 대해 펄레이-위너 정리의 다변수 버전을 증명하며, $\psi(t)/(1+t^2)$의 적분 가능성을 사용한다.
• $\mathbb{T}^n$에 대해 함수가 열린 부분집합에서 0이 되는 경우를 고려하여 주기성과 컴팩트 아벨 군에서의 푸리에 분석을 활용해 이 결과들을 $n$차원 토러스에 적용한다.
• 연결되고 단순연결된 두 단계의 노름을 가진 리 군 $G$로 이 틀을 확장하며, 중심 $\frak{z}$를 분석하고, 와이어의 변환과 푸리에 역변환을 통해 슈뢰딩거 방정식의 해의 구조를 분석한다.
• $L^2(G)$의 표현 이론적 분해를 통해 슈뢰딩거 표현으로 나누어 $v$-변수와 $z$-변수의 감쇠를 별도로 분석한다.
• 해의 푸리에 변환을 $z$-변수에서 분석하고 $w((v,z),t_0)$에 대한 감쇠 추정을 사용하여, 슈뢰딩거 방정식의 초기값 문제에 불확실성 원리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸리에 변환의 감쇠 조건이 어떤 조건일 경우, 열린 집합에서 0이 되는 $\mathbb{R}^n$ 상의 비영함수는 반드시 식별적으로 0이 되는가?
• RQ2 $\psi$에 대한 어떤 적분 조건이 성립할 경우, 반공간에 지지된 비영함수 $L^2(\mathbb{R}^n)$가 존재하며 그 푸리에 변환의 감쇠가 $e^{-\psi(|y|)}$와 같게 되는가?
• RQ3 $\mathbb{T}^n$에서 컴팩트하게 지지되거나 반공간에 지지된 함수가 자연스럽게 나타나지 않는 상황에서 인그람 유형의 불확실성 원리는 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ4 두 단계의 노름을 가진 리 군에서의 불확실성 원리는 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 해에 대한 유일한 연속성을 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 고정된 시간에서의 초기 자료와 해의 감쇠 조건이 어떤 조건이면, $G \times \mathbb{R}$에서 해가 식별적으로 0이 되는가?

주요 결과

• 열린 집합에서 0이 되는 함수 $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$이 $|\widehat{f}(y)| = O(e^{-\theta(|y|)|y|})$를 만족하고, $|y|$가 매우 클 때, $\int_1^\infty \frac{\theta(t)}{t} dt < \infty$이면 반드시 식별적으로 0이 된다.
• $\mathbb{R}^n$에서 반공간에 지지된 비영함수 $L^2(\mathbb{R}^n)$가 존재하고 그 푸리에 변환의 감쇠가 $|\widehat{f}(y)| = O(e^{-\psi(|y|)})$를 만족하는 것은 $\int_{\mathbb{R}} \frac{\psi(t)}{1+t^2} dt < \infty$일 때에만 가능하다.
• $n$차원 토러스 $\mathbb{T}^n$에서 열린 부분집합에서 0이 되는 비영함수는 푸리에 변환의 감쇠가 $e^{-\theta(|y|)|y|}$와 같게 되기 위해서는 $\int_1^\infty \frac{\theta(t)}{t} dt < \infty$여야 한다.
• 연결되고 단순연결된 두 단계의 노름을 가진 리 군 $G$에 대해, 초기 자료 $f(v,z)$가 $e^{-|z|\theta(|z|)}$와 같이 감쇠하고, 해 $w((v,z),t_0)$가 $e^{-\psi(|v|)}$와 같이 감쇠한다면, $\int_\mathbb{R} \frac{\psi(r)}{1+r^2} dr = \infty$ 이고 $\int_1^\infty \frac{\theta(r)}{r} dr = \infty$ 이면 $w \equiv 0$ on $G \times \mathbb{R}$이다.
• 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 유일한 연속성 성질은 초기 자료의 감쇠와 고정된 시간에서의 해의 감쇠 간의 상호작용에 의해 결정되며, 이는 불확실성 원리에 의해 이끌어진다.
• 증명 기법은 문제를 슈뢰딩거 표현으로 옮기며, 와이어 변환과 푸리에 역변환을 사용하고, $v$-와 $z$-변수 각각에 대해 불확실성 원리를 별도로 적용한다.