[논문 리뷰] Arthur packets for $p$-adic groups by way of microlocal vanishing cycles of perverse sheaves, with examples

Clifton Cunningham, Andrew Fiori외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 04.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $p$-adic 군에 대한 아르투어 패킷의 기하적 실현을 등변 펄서브 셰이브의 미세지표 소멸 순환을 이용하여 제안하며, 애덤스, 바바시, 보건의 실수 군에 대한 작업과 유사한 미세지표화 기능을 수행하는 함자를 수립한다. 주요 기여는 이 미세지표 프레임워크를 통해 아르투어 패킷을 ABV-패킷으로서 기하학적으로 묘사하고 전이 계수를 전달하는 가설적인 기하적 기술이며, 여러 예제에서 검증되었다.

ABSTRACT

In this article we propose a geometric description of Arthur packets for $p$-adic groups using vanishing cycles of perverse sheaves. Our approach is inspired by the 1992 book by Adams, Barbasch and Vogan on the Langlands classification of admissible representations of real groups and follows the direction indicated by Vogan in his 1993 paper on the Langlands correspondence. Using vanishing cycles, we introduce and study a functor from the category of equivariant perverse sheaves on the moduli space of certain Langlands parameters to local systems on the regular part of the conormal bundle for this variety. In this article we establish the main properties of this functor and show that it plays the role of microlocalization in the work of Adams, Barbasch and Vogan. We use this to define ABV-packets for pure rational forms of $p$-adic groups and propose a geometric description of the transfer coefficients that appear in Arthur's main local result in the endoscopic classification of representations. This article includes conjectures modelled on Vogan's work, especially the prediction that Arthur packets are ABV-packets for $p$-adic groups. We gather evidence for these conjectures by verifying them in numerous examples.

연구 동기 및 목표

• 미세지표 방법을 사용하여 $p$-adic 군에 대한 아르투어 패킷의 기하학적 프레임워크를 개발한다.
• 등변 펄서브 셰이브의 소멸 순환을 통해 실수 군에서의 미세지표화 함수를 $p$-adic 군으로 일반화한다.
• 이 기하학적 접근을 통해 $p$-adic 군의 순수 유리형 형태에 대한 ABV-패킷을 정의한다.
• 최종적으로 아르투어의 내부 분류에서 전이 계수의 기하학적 해석을 제안한다.
• 아르투어 패킷이 $p$-adic 설정에서 ABV-패킷과 일치한다는 가설에 대한 증거를 제공한다.

제안 방법

• 랭글랜드 매개변수의 모듈리 공간에서 등변 펄서브 셰이브의 소멸 순환을 사용한다.
• 등변 펄서브 셰이브에서 정칙 부분의 쌍대접선다발 위의 국소계를 정의하는 함수를 구성한다.
• 이 함수를 애덤스, 바바시, 보건의 실수 군 사례에서와 유사한 미세지표화 도구로 적용한다.
• 쌍대접선다발의 기하학을 활용하여 $p$-adic 군에 대한 ABV-패킷을 정의한다.
• 이 함수를 사용해 아르투어의 국소 내부 분류에서의 전이 계수를 분석하고 기술한다.
• 다양한 예제(클래식 군과 예외적 군 포함)에서 명시적 계산을 통해 가설을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미세지표 소멸 순환은 어떻게 $p$-adic 군에 대한 아르투어 패킷을 정의하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 제안된 미세지표화 함수는 아르투어 패킷의 구조를 어느 정도 회복하는가?
• RQ3 이 기하학적 프레임워크 하에서 $p$-adic 군에 대한 아르투어 패킷은 ABV-패킷과 동치인가?
• RQ4 아르투어의 내부 분류에서의 전이 계수는 이 함수를 통해 기하학적으로 해석될 수 있는가?
• RQ5 쌍대접선다발은 $p$-adic 군에 대한 국소 랑글랜드 상호관계를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 등변 펄서브 셰이브에서 정칙 부분의 쌍대접선다발 위의 국소계로의 함수가 실수 사례에서의 미세지표화와 유사한 핵심 성질을 만족함이 입증되었다.
• 이 구성은 미세지표 데이터를 통한 순수 유리형 형태의 $p$-adic 군에 대한 ABV-패킷의 기하학적 정의를 제공한다.
• 아르투어의 주요 국소 결과에서의 전이 계수들이 펄서브 셰이브의 미세지표 구조에서 자연스럽게 유도된다는 가설이 제기되었다.
• 아르투어 패킷이 $p$-adic 설정에서 ABV-패킷과 일치한다는 가설은 여러 예제에서의 검증을 통해 지지되었다.
• 이 프레임워크는 소멸 순환을 통해 애덤스–바바시–보건의 접근을 실수 군에서 $p$-adic 군으로 일반화한다.
• 이 방법은 펄서브 셰이브 이론을 통해 $p$-adic 군에 대한 국소 랑글랜드 상호관계로의 새로운 기하학적 길을 확립한다.