[논문 리뷰] Artificial compressibility methods for the incompressible Navier-Stokes equations using lowest-order face-based schemes on polytopal meshes

Riccardo Milani, Jérôme Bonelle외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 74인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 인공 압축성(AC) 시간 적분을 사용하여 비압축성 스토크스 방정식을 다각형 메시에서 풀기 위한, 얼굴 기반의 최저차수 하이브리드 스킴을 제안한다. 이 방법은 각 시간 단계에서 속도와 압력 갱신을 분리하여 대류항을 명시적으로 처리할 수 있게 하며, 단일체적 접근법 대비 약 50%의 계산 비용 절감을 이끌어내면서도 3D 다각형 메시에서 속도 및 압력 오차에 대해 2차 정확도와 최적 수렴률을 유지한다.

ABSTRACT

We investigate artificial compressibility (AC) techniques for the time discretization of the incompressible Navier-Stokes equations. The space discretization is based on a lowest-order face-based scheme supporting polytopal meshes, namely discrete velocities are attached to the mesh faces and cells, whereas discrete pressures are attached to the mesh cells. This face-based scheme can be embedded into the framework of hybrid mixed mimetic schemes and gradient schemes, and has close links to the lowest-order version of hybrid high-order methods devised for the steady incompressible Navier-Stokes equations. The AC timestepping uncouples at each time step the velocity update from the pressure update. The performances of this approach are compared against those of the more traditional monolithic approach which maintains the velocity-pressure coupling at each time step. We consider both first-order and second-order time schemes and either an implicit or an explicit treatment of the nonlinear convection term. We investigate numerically the CFL stability restriction resulting from an explicit treatment, both on Cartesian and polytopal meshes. Finally, numerical tests on large 3D polytopal meshes highlight the efficiency of the AC approach and the benefits of using second-order schemes whenever accurate discrete solutions are to be attained.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 다각형 메시에서 비압축성 스토크스 방정식을 위한 강건하고 저차수의 얼굴 기반 스킴을 개발하는 것.
• 전통적인 단일체적 접근법 대비 인공 압축성(AC) 시간 적분의 정확도와 효율성을 평가하는 것.
• 비선형 대류항을 명시적 또는 암시적으로 처리하는 1차 및 2차 시간 스킴의 성능을 조사하는 것.
• 특히 카르테시안 메시와 다각형 메시에서 명시적 시간 적분의 안정성 및 수렴 거동, 특히 CFL 제약 조건을 평가하는 것.
• 대규모 3D 다각형 메시에서 AC 방법의 확장성과 계산 효율성을 입증하는 것.

제안 방법

• 메시의 면과 세포에 이산 속도를 정의하고, 세포에 이산 압력을 정의하는 최저차수의 얼굴 기반 스킴을 사용하여 다각형 메시를 지원한다.
• 속도와 압력 갱신을 분리하기 위해 인공 압축성을 적용한다: 먼저, grad-div 정규화 항(νη∇∇·u)을 포함한 수정된 스토크스 유사 문제를 통해 속도를 갱신하고, 그 다음에 속도의 발산을 사용하여 압력을 보정한다.
• 1차(역오일러) 및 2차(BDF2) 시간 이산화를 적용하며, 대류항에 대해 명시적 또는 암시적 처리를 수행한다.
• 하이브리드 혼합 미미틱 및 기울기 스킴 프레임워크 내에서 방법을 구현하여 일반적인 다각형 메시에서의 일致성과 안정성을 확보한다.
• 정확도와 계산 비용의 균형을 맞추기 위해 적응형 정밀도 제어를 갖춘 반복 선형 해법(GKB 및 CG)을 사용한다.
• 2차 AC 스킴에서 시간 정확도를 확보하기 위해 중간 상태를 재구성하기 위한 부트스트랩 절차를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각형 메시에서 비압축성 스토크스 방정식의 시간 적분에 대해 인공 압축성 방법이 단일체적 접근법 대비 정확도와 효율성에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 대류항을 명시적 또는 암시적으로 처리할 경우 안정성과 계산 비용, 특히 CFL 제약 조건에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ3 AC 방법을 사용할 때 1차 및 2차 시간 스킴의 속도 및 압력 오차의 수렴률은 어떻게 되는가?
• RQ4 명시적 시간 적분 하에서 카르테시안 메시와 다각형 메시 간에 AC 방법의 성능 특성은 어떻게 다름?
• RQ5 2차 AC 스킴은 계산 비용이 다소 증가하더라도 1차 스킴보다 유의미하게 더 높은 정확도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 대규모 3D 다각형 메시에서 AC 방법은 정확도 수준은 유사하게 유지하면서도 단일체적 접근법 대비 약 50% 빠른 계산 시간을 기록한다.
• 2차 AC 스킴은 1차 스킴 대비 속도 오차를 3.6배, 압력 오차를 2.3배 감소시키며, 계산 시간은 두 배 이내로 유지된다.
• 모든 테스트된 스킴과 메시 유형에서 속도 및 압력에 대해 L2 및 H1 노름에서 최적의 수렴률을 유지한다.
• 명시적 시간 적분에서는 CFL 제약 조건이 레이놀즈 수의 역수에 선형적으로 의존하며, 카르테시안 메시에 비해 다각형 메시에서는 약간 더 엄격한 제약 조건을 보인다.
• η = 10을 선택할 경우 η = 50에 비해 특히 1차 AC 스킴에서 더 높은 계산 효율성을 보였다.
• 2차 AC 스킴에서의 부트스트랩 절차는 시간 단계당 두 번의 선형 해법을 필요로 하지만, 전체적으로는 단일체적 BDF2 스킴(하나의 해법만 필요)보다는 비용이 더 높지만 성능가치는 유리하다.