[논문 리뷰] Artin groups of type B and D

John Crisp, L. Paris|ArXiv.org|2002. 10. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $B_n$ 및 $D_n$ 유형의 아르틴 군이 자유군 $F$와 $n$-끈 브레이드 군 $\mathcal{B}_n$의 반직적곱 구조 $F \rtimes \mathcal{B}_n$를 가짐을 규명한다. $\mathcal{B}_n$의 $F$에 대한 작용은 정규 궤도 공간의 피브레이션으로 자연스럽게 유도되며, 이러한 아르틴 군의 외부 자명형군은 작다: $B_n$의 경우 순서 2이며, $D_n$의 경우 $n$이 짝수일 때는 순서 4, 홀수일 때는 순서 2이다.

ABSTRACT

We show that each of the Artin groups of type $B_n$ and $D_n$ can be presented as a semidirect product $F times {\cal B}_n$, where $F$ is a free group and ${\cal B}_n$ is the $n$-string braid group. We explain how these semidirect product structures arise quite naturally from fibrations, and observe that, in each case, the action of the braid group ${\cal B}_n$ on the free group $F$ is classical. We prove that, for each of the semidirect products, the group of automorphisms which leave invariant the normal subgroup $F$ is small: namely, ${ m Out}(A(B_n),F)$ has order 2, and ${ m Out}(A(D_n),F)$ has order 4 if $n$ is even and 2 if $n$ is odd. It is known that the Artin group of type $D_n$ may be viewed as an index 2 subgroup of the $n$-string braid group over some orbifold. Applying the same techniques, we show that this latter group has an outer automorphism group of order 2. Finally, we determine the automorphism groups of all Artin groups or rank 2.

연구 동기 및 목표

• 아르틴 군 $A(B_n)$ 및 $A(D_n)$의 내부 구조를 이해하기 위해 브레이드 군 $\mathcal{B}_n$를 포함하는 반직적곱으로 표현하는 것.
• 정규 궤도 공간의 피브레이션을 통한 이러한 반직적곱 구조의 기하학적 기원을 설명하는 것.
• $A(B_n)$ 및 $A(D_n)$의 외부 자명형군을 결정하는 것, 특히 $\mathrm{Out}(A(B_n), F)$ 및 $\mathrm{Out}(A(D_n), F)$의 크기를 파악하는 것.
• 특히 형식 $B_2$ 및 $D_2$에 대해 랭크 2 아르틴 군의 전체 자명형군을 계산하는 것.
• 브레이드 군 자명형군에 대한 기법을 관련 군, 특히 $D_n$과 관련된 오비폴드 브레이드 군으로 확장하는 것.

제안 방법

• 자유군 $F$와 $\mathcal{B}_n$의 작용이 고전적 단일화 작용을 통해 이루어지는 $F \rtimes \mathcal{B}_n$ 형태로 $A(B_n)$ 및 $A(D_n)$를 제시하는 것.
• $N(A_{n-1})$ 위에서 정규 궤도 공간 $N(B_n)$ 및 $N(D_n)$의 위상적 피브레이션을 사용하여 반직적곱 분해를 유도하는 것.
• $\mathcal{B}_n$의 $F$에 대한 작용을 분석하여, 이 작용이 $B_n$에 대한 아르틴의 고전적 표현과 $D_n$의 밀놀러 표면에서의 단일화 작용과 대응됨을 보이는 것.
• 공轭류와 중심 원소를 다루는 군론적 기법을 적용하여 내부 자명형군에 대한 자명형군을 분류하는 것.
• 자명형군 문제를 중심 $Z(A)$의 몫군 $\overline{A} = A / Z(A)$로 환원하는 것.
• $a, b$를 변수로 하는 랭크 2 아르틴 군의 표현을 사용하여, $m$ 이奇수일 때 $a^m = b^2$ 또는 $m$ 이 짝수일 때 $a^k b = b a^k$의 관계를 설정하고, $\overline{A}$에 유도된 사상으로 자명형군을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식 $B_n$ 및 $D_n$의 아르틴 군은 어떻게 브레이드 군 $\mathcal{B}_n$를 포함하는 반직적곱으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 아르틴 군 $A(B_n)$ 및 $A(D_n)$의 반직적곱 구조의 기하학적 또는 위상수학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 $F$가 정규 자유군일 때, 외부 자명형군 $\mathrm{Out}(A(B_n), F)$의 크기는 얼마인가?
• RQ4 $\mathrm{Out}(A(D_n), F)$의 크기는 얼마이며, 이는 $n$의 홀짝성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 형식 $B_2$ 및 $D_2$의 랭크 2 아르틴 군의 전체 자명형군은 무엇인가?

주요 결과

• 아르틴 군 $A(B_n)$는 자유군의 랭크 $n-1$을 가진 반직적곱 분해 $F \rtimes \mathcal{B}_n$를 가지며, $\mathcal{B}_n$의 $F$에 대한 작용은 아르틴의 고전적 표현이다.
• 아르틴 군 $A(D_n)$ 역시 반직적곱 구조 $F \rtimes \mathcal{B}_n$를 가지며, 이 작용은 $A_{n-1}$-형 특이점의 밀놀러 표면에서의 단일화 작용으로 유도된다.
• $\mathrm{Out}(A(B_n), F)$의 외부 자명형군은 순서 2이며, 이는 내부 자명형군에 대해 정규부분군 $F$를 유지하는 자명형군이 오직 두 개인다는 의미이다.
• $A(D_n)$의 경우, $n$이 짝수이면 $\mathrm{Out}(A(D_n), F)$의 외부 자명형군은 순서 4이며, 홀수이면 순서 2이다.
• $B_2$ 형식의 랭크 2 아르틴 군의 자명형군은 내부 자명형군을 몫으로 취한 후에 자명하다. 이는 오직 항등자명형군만이 요구 조건을 만족함을 보여주는 증명에 의해 입증된다.
• $D_n$과 관련된 오비폴드 브레이드 군의 외부 자명형군은 순서 2이며, 이는 결과를 관련된 군 구조로 확장한 것이다.