[논문 리뷰] As Easy as $\mathbb Q$: Hilbert's Tenth Problem for Subrings of the Rationals and Number Fields

Kirsten Eisentraeger, Russell Miller외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 26.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 퇴화 가능성에 의해 표현 가능한 부분환 $ R \subseteq \mathbb{Q} $ 및 수체의 부분환 $ \mathcal{O}_{K,\mathscr{S}} $를 구성하여, $ R $에서의 힐베르트의 제10 문제, 즉 $ \operatorname{HTP}(R) $가 $ \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $와 튜링 등가임을 보인다. 이는 특정한 하한 자연 밀도를 갖는 소수 집합 $ \mathscr{S} $를 선택하여 달성되며, 이는 0과 임의의 계산 가능한 $ r \in [0,1] $을 포함한다. 이로써 $ \operatorname{HTP}(R) \equiv_T \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $임이 보장된다. 또한 이러한 결과는 수체로 확장되어, $ \operatorname{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) \equiv_T \operatorname{HTP}(K) \leq_T \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $임을 보여준다. 이 작업은 $ \mathbb{Q} $와 동일한 결정 불가능성 정도를 갖는 다양한 환의 풍부한 계층을 제공한다.

ABSTRACT

Hilbert's Tenth Problem over the field $\mathbb Q$ of rational numbers is one of the biggest open problems in the area of undecidability in number theory. In this paper we construct new, computably presentable subrings $R$ of $\mathbb Q$ having the property that Hilbert's Tenth Problem for $R$, denoted $HTP(R)$, is Turing equivalent to $HTP(\mathbb Q)$. We are able to put several additional constraints on the rings $R$ that we construct. Given any computable nonnegative real number $r \leq 1$ we construct such a ring $R = Z[\frac1p : p \in S]$ with $S$ a set of primes of lower density $r$. We also construct examples of rings $R$ for which deciding membership in $R$ is Turing equivalent to deciding $HTP(R)$ and also equivalent to deciding $HTP(\mathbb Q)$. Alternatively, we can make $HTP(R)$ have arbitrary computably enumerable degree above $HTP(\mathbb Q)$. Finally, we show that the same can be done for subrings of number fields and their prime ideals.

연구 동기 및 목표

• 수체의 부분환과 $ \mathbb{Q} $의 부분환에서 힐베르트의 제10 문제($\mathrm{HTP}$)의 계산 복잡도를 조사하며, 특히 $\mathrm{HTP}(\mathbb{Q})$의 결정 가능성 문제가 해결되지 않은 상태에서의 관계를 탐구한다.
• $ \mathscr{S} $가 무한하고 코-무한일지라도, $\mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $가 되는 부분환 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $를 구성한다.
• 이러한 구성 결과를 수체에서의 정수환을 소수 집합에 대해 국소화한 환으로 확장하여, 유사한 튜링 등가 결과를 보인다.
• 소수 집합 $\mathscr{S} $의 밀도를 조절함으로써 $\mathrm{HTP}(R) $의 복잡도를 조절할 수 있음을 보이며, 하한 밀도 0 또는 임의의 계산 가능한 $ r \in [0,1] $을 달성할 수 있음을 보여준다.
• $ R $에 속하는지의 여부, $\mathrm{HTP}(R)$, $\mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $의 상호작용을 탐색하여, 이들이 모두 튜링 등가인 경우를 보여준다.

제안 방법

• 하한 자연 밀도를 갖는 특정한 집합으로 선택된 계산 가능 열거 가능(c.e.) 소수 집합 $ \mathscr{S} $를 이용하여, $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $의 부분환을 구성한다.
• 다항식 정의와 모델 이론의 이론을 활용하여, 특히 로빈슨과 풍엔의 결과를 응용함으로써 $\mathrm{HTP}(R)$의 결정 불가능성과 $\mathbb{Q}$에서의 결정 불가능성 간의 관계를 규명한다.
• 튜링 감소를 적용하여 $\mathrm{HTP}(R) $와 $\mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $를 비교하고, 오рак루 구성과 감소를 통해 $\mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $임을 보인다.
• 수체 $ K $로의 프레임워크 확장을 적용하여, $ \mathcal{O}_{K,\mathscr{S}} $를 $ \mathscr{S} $-정수의 환으로 정의하고, 유사한 밀도 및 감소 논리를 사용하여 $\mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) $를 분석한다.
• 임의의 계산 가능한 실수 $ r \in [0,1] $에 대해, $ K $-소수 집합 $ \mathscr{S} $가 하한 밀도 $ r $를 갖는 계산 가능 열거 가능(c.e.) 집합임을 보장하며, $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) \leq_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $임을 증명한다.
• 모든 $ K $-소수 집합을 유한하거나 무한한 수의 서로소 c.e. 집합 $ \mathscr{S}_i $로 분할할 수 있으며, 각각의 상한 밀도가 1이 되도록 하며, 각 $ i $에 대해 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_i}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) $임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 집합 $ \mathscr{S} $가 무한하고 코-무한일지라도, $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $를 만족하는 $ R \subseteq \mathbb{Q} $의 부분환을 구성할 수 있는가?
• RQ2 역행되는 소수 집합 $ \mathscr{S} $의 밀도와 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}]) $의 계산 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 이러한 환의 구성은 수체에서의 정수환으로 확장될 수 있으며, 유사한 튜링 등가 결과가 성립하는가?
• RQ4 멤버십 문제 $ R $, $ \mathrm{HTP}(R) $, $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $가 모두 튜링 등가가 될 수 있는가?
• RQ5 $ \mathrm{HTP}(R) $의 복잡도를 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $보다 임의로 높게 만들 수 있는가, 아니면 임의의 c.e. 정도로 조절할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 계산 가능한 실수 $ r \in [0,1] $에 대해, 하한 밀도 $ r $를 갖는 계산 가능 열거 가능(c.e.) 소수 집합 $ \mathscr{S} $가 존재하며, $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}]) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $임을 보장한다.
• 하한 밀도 0인 소수 집합 $ \mathscr{S} $를 갖는 부분환 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $가 존재하며, $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $임을 보이며, $ R $에 속하는지의 여부 역시 $ \mathrm{HTP}(R) $와 튜링 등가이다.
• $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) \leq_T B $를 만족하는 $ \mathbb{Z}_{>0} $의 계산 가능 열거 가능(c.e.) 집합 $ B \subset \mathbb{Z}_{>0} $가 주어지면, 하한 밀도 0인 소수 집합 $ \mathscr{S} $를 갖는 환 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] $가 존재하여 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T B $임을 보이며, 이로써 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $임을 달성할 수 있다.
• 수체 $ K $의 모든 $ K $-소수 집합은 유한한 수의 서로소 c.e. 집합 $ \mathscr{S}_1, \dots, \mathscr{S}_m $로 분할될 수 있으며, 각각의 상한 밀도가 1이 되도록 하며, 각 $ i $에 대해 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_i}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) \leq_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $임을 보여준다.
• 무한히 많은 서로소 c.e. 집합 $ \mathscr{S}_1, \mathscr{S}_2, \dots $의 $ K $-소수 집합이 존재하며, 각각의 하한 밀도가 0이 되도록 하며, $ \bigcup_j \mathscr{S}_j $가 전체 $ K $-소수 집합이 되며, 모든 $ j $에 대해 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_j}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) $임을 보여준다.
• 임의의 수체 $ K $에 대해, 하한 밀도 0인 $ K $-소수 집합 $ \mathscr{W} $가 존재하여 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) \geq_T \mathrm{HTP}(K) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{W}}) $임을 보여준다.