[논문 리뷰] Aspects of Nonabelian Group Based Cryptography: A Survey and Open Problems

Benjamin Fine, Maggie Habeeb외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 21.

Coding theory and cryptography참고 문헌 7인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비아벨 군 기반 암호의 종합적 서베이를 제공하며, 공개 키 교환, 디지털 서명, 인증을 위한 비가환 플랫폼으로 브레이드 군과 폴리사이클릭 군을 중심으로 다룬다. 주요 프로토콜로 앤셸-앤셸-골드펠드 및 코-리 등이 소개되며, 콘jugacy 문제와 콘jugator 검색 문제와 같은 알고리즘 문제를 통한 보안 분석이 이루어지고, 일반 자유군 성질과 점근 밀도에 관한 이론적 결과들이 제시되어 이 분야의 열린 문제들을 종합적으로 다룬다.

ABSTRACT

Most common public key cryptosystems and public key exchange protocols presently in use, such as the RSA algorithm, Diffie-Hellman, and elliptic curve methods are number theory based and hence depend on the structure of abelian groups. The strength of computing machinery has made these techniques theoretically susceptible to attack and hence recently there has been an active line of research to develop cryptosystems and key exchange protocols using noncommutative cryptographic platforms. This line of investigation has been given the broad title of noncommutative algebraic cryptography. This was initiated by two public key protocols that used the braid groups, one by Ko, Lee et.al.and one by Anshel, Anshel and Goldfeld. The study of these protocols and the group theory surrounding them has had a large effect on research in infinite group theory. In this paper we survey these noncommutative group based methods and discuss several ideas in abstract infinite group theory that have arisen from them. We then present a set of open problems.

연구 동기 및 목표

• 기존의 수론적 공개 키 시스템의 대안으로 비아벨 군 기반 암호체계를 서베이하는 것.
• 콘주게이시 및 콘주게이터 검색 문제와 같은 알고리즘 문제에 기반한 비아벨 군 암호의 보안 기초를 분석하는 것.
• 점근 군 이론과 일반 복잡도가 암호 플랫폼 군 평가에 미치는 역할을 탐색하는 것.
• 플랫폼 군 선택, 프로토콜 설계, 복잡도 분석, 양자 저항성 분야에서의 열린 문제를 식별하고 제시하는 것.
• 브레이드 군을 넘어서 폴리사이클릭 군과 기타 비아벨 구조를 암호 응용에 포함시키기 위해 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• 비아벨 암호 플랫폼을 구성하기 위한 기초 틀로 조합론적 군 이론과 선형 군 이론을 활용한다.
• 비아벨 군 기반 암호체계에서 핵심 난이도 가정으로 콘주게이터 검색 문제와 콘주게이션 결정 문제를 적용한다.
• 알고리즘 문제의 랜덤 인스턴스에서의 해법 가능성 평가를 위해 점근 밀도와 일반 복잡도를 활용한다.
• 랜덤 샘플링 하에서 군 플랫폼의 보안성을 특성화하기 위해 강한 일반 자유군 성질과 일반 자유군 성질을 도입한다.
• 자기의 자유군 성질를 만족하는 조건을 도출하기 위해 자유곱과 중심자에 대한 랭크-원 확장을 분석한다.
• 특히 브레이드 군과 폴리사이클릭 군에서의 유한지수 부분군에서의 일반 성질의 유산에 관한 결과들을 검토하고 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 암호에 적합한 가장 적절한 비아벨 군 플랫폼은 무엇이며, 유한한가 무한한가여?
• RQ2 새로운 비아벨 암호체계의 보안을 공식적으로 증명하는 방법은 무엇이며, 이는 키 교환, 디지털 서명, 인증 프로토콜을 포함하여 어떻게 적용될 수 있나요?
• RQ3 폴리사이클릭 군과 기타 비아벨 군에서 콘주게이션 및 콘주게이터 검색 문제의 일반적 복잡도는 무엇인가요?
• RQ4 양자 알고리즘이 폴리사이클릭 군에서 키 검색 콘주게이션 문제를 고전적 알고리즘보다 더 효율적으로 해결할 수 있는가요?
• RQ5 GAP와 같은 컴퓨터 대수 시스템을 비아벨 군 기반 암호체계의 구현에 실제로 안전하게 활용하는 방법은 무엇인가요?

주요 결과

• 강한 일반 자유군 성질은 유한지수 부분군에서 보존되며, 모든 브레이드 군은 이 성질을 만족한다.
• 최소한 하나의 인자가 2 이상의 순서를 가지는 군의 자유곱은 일반 자유군 성질을 만족한다.
• 군 B의 비자명한 U에 대해 B/N_B(U)가 무한할 경우, B의 중심자에 대한 랭크-원 확장은 강한 일반 자유군 성질을 만족한다.
• 유산 정리에 따르면, 유한지수 부분군에서 일반적이고 적절한 성질이면 전체 군에서도 일반적이고 적절하다.
• 폴리사이클릭 군은 복잡한 알고리즘적 행동을 보이며, 자유군에서의 수집 알고리즘과 Reidemeister-Schreier 재기록의 복잡도 문제는 여전히 열려 있다.
• 유한 가환 군의 순서를 다항 시간 내에 계산할 수 있는 양자 알고리즘이 존재하여, 특정 군론적 문제 해결에 양자 가속화의 잠재력이 있음을 시사한다.