[논문 리뷰] Aspects of Perturbation theory in Quantum Mechanics: The BenderWu Mathematica package

Tin Sulejmanpašić, Mithat Ünsal|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 29.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 25인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 임의의 국소적으로 조화 잠재력이 있는 1차원 양자역학계에서 고차수 양자역학적 섭동 계산을 가능하게 하는 기호 계산 도구인 BenderWu Mathematica 패키지를 소개한다. 벤더-우 방법을 일반화함으로써 에너지 및 파동함수 보정의 정확한 재귀 관계를 유도하며, 표준 컴퓨터에서 최대 250차 섭동 순서까지 효율적으로 계산할 수 있다. 이는 복원 이론과 비섭동 물리학 추출에 적용된다.

ABSTRACT

We discuss a general setup which allows the study of the perturbation theory of an arbitrary, locally harmonic 1D quantum mechanical potential as well as its multi-variable (many-body) generalization. The latter may form a prototype for regularized quantum field theory. We first generalize the method of Bender-Wu, and derive exact recursion relations which allow the determination of the perturbative wave-function and energy corrections to an arbitrary order, at least in principle. For 1D systems, we implement these equations in an easy to use Mathematica package we call BenderWu. Our package enables quick home-computer computation of high orders of perturbation theory (about 100 orders in 10-30 seconds, and 250 orders in 1-2h) and enables practical study of a large class of problems in Quantum Mechanics. We have two hopes concerning the BenderWu package. One is that due to resurgence, large amount of non-perturbative information, such as non-perturbative energies and wave-functions (e.g. WKB wave functions), can in principle be extracted from the perturbative data. We also hope that the package may be used as a teaching tool, providing an effective bridge between perturbation theory and non-perturbative physics in textbooks. Finally, we show that for the multi-variable case, the recursion relation acquires a geometric character, and has a structure which allows easy parallelization to computer clusters.

연구 동기 및 목표

• 임의의 국소적으로 조화 잠재력이 있는 1차원 양자역학계에서 고차수 섭동 보정을 계산할 수 있는 일반화 가능한 프레임워크를 개발하는 것.
• 비조화 진동자에서 벗어나 다변수(다체) 일반화를 포함한 광범위한 잠재력 클래스로 벤더-우 방법을 확장하는 것.
• 표준 컴퓨터에서 최대 250차까지 기호적이고 고정밀도로 섭동 전개를 계산할 수 있도록 실용적이고 사용자 친화적인 Mathematica 패키지를 구현하는 것.
• 비섭동 정보(예: WKB 파동함수)를 섭동 데이터로부터 추출하여 복원 구조의 연구를 촉진하는 것.
• 교육적 맥락에서 섭동과 비섭동 양자역학을 연결하는 데 도움이 되는 교육적 도구로 기능하는 것.

제안 방법

• 잠재력을 조화 최소점 주변에서 전개함으로써 차원이 없는 결합 상수 $ g = \sqrt{\hbar / (m\omega a^2)} $ 를 사용하여 임의의 국소적으로 조화 잠재력에 대해 벤더-우 방법을 일반화한다.
• 레이일리-슈뢰딩거 섭동 이론 프레임워크에 기반하여 에너지 및 파동함수 보정의 정확한 재귀 방정식을 유도한다.
• 기호 계산을 통해 수치 오차 없이 정확한 결과를 보장하기 위해 Mathematica에서 기호 계산을 구현하며, 잠재력 내의 임의의 기호적 매개변수를 지원한다.
• 다변수 경우에 기하학적 구조를 도입하여 컴퓨터 클러스터에서의 병렬 처리를 가능하게 한다.
• 헤르미트 다항식과 상호작용 잠재력의 행렬 요소를 사용하여 파동함수 보정을 중간 상태의 합으로 표현한다.
• 귀납법과 재귀 관계를 적용하여 각 섭동 순서 $ l $ 에서 도달하는 최대 조화 진동자 수준 $ K_l $ 를 엄밀히 증명하며, $ \nu + (L+2)\lfloor l/L \rfloor + (l \mod L) $ 스케일링 법칙을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벤더-우 방법은 비조화 진동자 이외의 임의의 국소적으로 조화 잠재력이 있는 1차원 양자계로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 고차수 계산을 가능하게 하는 섭동 재귀 관계의 구조는 무엇인가?
• RQ3 표준 하드웨어에서 최대 250차까지 효율적으로 계산할 수 있는 실용적이고 기호 계산 기반의 패키지를 개발할 수 있는가?
• RQ4 복원을 통해 고차수 섭동 데이터로부터 비섭동 물리학(예: WKB 파동함수)을 어느 정도 추출할 수 있는가?
• RQ5 다변수 일반화된 방법은 어떻게 컴퓨터 클러스터에서의 병렬 처리에 적합한 기하학적 구조를 획득하는가?

주요 결과

• BenderWu 패키지는 표준 홈 컴퓨터에서 최대 100차까지 10~30초, 최대 250차까지 1~2시간 내에 기호 계산을 통해 섭동 보정을 계산한다.
• 순서 $ l $ 에서 파동함수 전개에서 도달하는 최대 조화 진동자 수준 $ K_l $ 는 $ \nu + (L+2)\lfloor l/L \rfloor + (l \mod L) $ 로 주어지며, 여기서 $ L $ 은 잠재력 전개에서 최소 비제곱항이다.
• 조화 진동자에 대한 보정은 $ g^L $ 순서부터 시작되며, 순서 $ l = L $ 에서 $ K_l = \nu + L + 2 $ 이고, 이후 순서들은 예측 가능하고 재귀적인 패턴을 따른다.
• 다변수 일반화된 재귀 관계는 컴퓨터 클러스터에서의 효율적 병렬 처리에 적합한 기하학적 구조를 획득한다.
• 패키지는 복원을 통해 섭동 데이터로부터 비섭동 정보(예: WKB 파동함수)를 추출할 수 있게 하며, 섭동과 비섭동 물리학 사이의 깊은 연결을 보여준다.
• 기호 계산의 성격 덕분에 정확한 결과가 보장되며 수치 오차가 없고, 잠재력은 임의의 기호적 매개변수에 의존할 수 있어 섭동 이론의 매개변수 연구가 가능하다.