[논문 리뷰] Assigning a Small Agreeable Set of Indivisible Items to Multiple Players

Warut Suksompong|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 26.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 분할 불가능한 항목의 소량의 만족스러운 부분집합을 다수의 플레이어에게 할당하는 문제를 다룬다. 여기서 각 플레이어는 부분집합을 그 여부의 보조 부분집합보다 선호한다. 반응성 선호도를 가진 두 명 또는 세 명의 플레이어에 대해, 총 항목 수의 약 반정도의 크기를 갖는 만족스러운 부분집합을 찾는 다항시간 알고리즘을 제시하며, 부분가소적 평가 기준 하에서 개인 복지의 2-근사치를 달성한다.

ABSTRACT

We consider an assignment problem that has aspects of fair division as well as social choice. In particular, we investigate the problem of assigning a small subset from a set of indivisible items to multiple players so that the chosen subset is \emph{agreeable} to all players, i.e., every player weakly prefers the chosen subset to any subset of its complement. For an arbitrary number of players, we derive tight upper bounds on the size for which a subset of that size that is agreeable to all players always exists when preferences are monotonic. We then present polynomial-time algorithms that find an agreeable subset of approximately half of the items when there are two or three players and preferences are responsive. Our results translate to a 2-approximation on the individual welfare of every player when preferences are subadditive.

연구 동기 및 목표

• 모든 플레이어가 부분집합을 그 여부의 보조 부분집합보다 선호하는 조건에서, 모든 플레이어에게 만족스러운 부분집합의 최소 크기를 결정하는 것.
• 반응성 선호도를 가진 두 명 또는 세 명의 플레이어에 대해, 그러한 만족스러운 부분집합을 효율적으로 계산하는 알고리즘을 개발하는 것.
• 단조성 및 반응성 선호도 가정 하에서 만족스러운 부분집합의 최악의 크기를 분석하고, 엄밀한 상한을 설정하는 것.
• 서브셋 선호도가 아닌 단일 항목 선호도만 제공될 경우, 반드시 만족스러운 부분집합을 찾는 데 있어 계산 복잡도를 탐색하는 것.
• 두 명 이상의 플레이어가 있는 당사자에 대한 효율적인 알고리즘을 세 명 초과의 플레이어로 확장할 수 있는지 조사하고, TFNP 클래스 내에서의 하드네스 결과를 평가하는 것.

제안 방법

• 플레이어의 선호도를 전체 입력 표현 없이도 접근할 수 있도록 선호도 오ракูล 모델을 사용한다.
• 보완 서브셋 간의 선호 관계를 비교하여 총 항목 수의 약 반정도 크기의 부분집합을 구성하는 구축형 알고리즘을 적용한다.
• 세 명의 플레이어의 경우, 보완 집합 쌍 간의 다수 선호도를 기반으로 부분집합을 선택하며, 반응성에 의해 합의가 보장된다.
• 항목 수가 짝수인지 홀수인지에 따라 경우 분석을 수행하며, 항목 수가 홀수일 경우 재귀적 또는 반복적 조정을 적용한다.
• 항목을 약하게 선호하는 대체 항목으로 추가하거나 교체할 때도 만족스러움을 유지하기 위해 반응성 성질에 의존한다.
• 크기 상한과 선호 일관성을 활용하여, 부분가소적 평가 기준 하에서 개인 복지의 2-근사치로 결과를 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선호도가 단조일 경우, 모든 플레이어에게 반드시 만족스러운 부분집합의 최소 크기는 얼마인가?
• RQ2 반응성 선호도를 가진 두 명 또는 세 명의 플레이어에 대해, 총 항목 수의 약 반정도 크기의 만족스러운 부분집합을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 단일 항목 선호도만을 사용할 경우, 반드시 만족스러운 부분집합을 계산할 수 있으며, 이 경우 최악의 경우 크기는 얼마나 되는가?
• RQ4 세 명 초과의 플레이어에 대해 만족스러운 부분집합을 찾는 데 있어 계산 복잡도는 어떻게 되며, 문제는 PPAD나 PLS와 같은 TFNP의 하위클래스에 속하는가?
• RQ5 기존의 단일 플레이어 당사자 모델을 확장하여, 다수의 플레이어가 있는 당사자 환경에서 환경 없는 할당을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 플레이어가 단조 선호도를 가진 경우, $ \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil + \frac{n-1}{2} $ 이하의 크기를 갖는 부분집합은 항상 만족스럽고, 이 상한은 엄밀하다.
• 반응성 선호도를 가진 두 명 또는 세 명의 플레이어에 대해, 다항시간 알고리즘이 크기가 $ \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil + 1 $ 이하인 만족스러운 부분집합을 계산하며, 이는 총 항목 수의 약 반정도이다.
• 선호도가 부분가소적일 경우, 알고리즘은 개인 복지의 2-근사치를 달성한다. 즉, 각 플레이어는 최적 할당의 복지의 최소 절반을 확보한다.
• 서브셋 선호도가 있는 경우에도, 단일 항목 선호도만을 사용할 경우 최악의 경우 다섯 개의 항목까지 필요로 할 수 있으며, 여섯 개의 항목을 가진 반례를 통해 이를 입증한다.
• 서브셋 선호도를 사용할 경우보다 단일 항목 선호도만을 사용할 경우, 반드시 만족스러운 부분집합을 계산하는 것은 더 어렵고, 여섯 개의 항목과 세 명의 플레이어를 가진 예시로 이를 입증한다.
• 단조성 조건 하에서는 해가 항상 존재하지만, 단일 항목 선호도에만 접근이 제한될 경우 계산의 도전이 발생하며, 이는 상당히 더 많은 항목을 포함하게 만들 수 있다.