[논문 리뷰] Associated graded of Hodge modules and categorical sl_2 actions

Sabin Cautis, C. A. F. Dodd외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 D_h-모듈의 카테고리적 sl₂ 작용을 통해 보편 Grassmannian의 곱 위의 개집합 포함에 대한 Hodge 모듈의 푸시포워드의 관련 그레디에이션을 계산한다. 주요 결과는 관련 그레디에이션을 cotangent bundle의 국소적으로 닫힌 부분집합에서 오는 선다발의 푸시포워드로 식별하며, 궤도 성분과 연결된 자연스러운 무게 필터링이 존재한다.

ABSTRACT

One of the most mysterious aspects of Saito's theory of Hodge modules are the Hodge and weight filtrations that accompany the pushforward of a Hodge module under an open embedding. In this paper we consider the open embedding in a product of complementary Grassmannians given by pairs of transverse subspaces. The push-forward of the structure sheaf under this open embedding is an important Hodge module from the viewpoint of geometric representation theory and homological knot invariants. We compute the associated graded of this push-forward with respect to the induced Hodge filtration as well as the resulting weight filtration. The main tool is a categorical $\sl_2$ action on the category of $\D_h$-modules on Grassmannians. Along the way we also clarify the interaction of kernels for $\D_h$-modules with the associated graded functor. Both of these results may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 개집합 j: U → G(k,N) × G(N−k,N)에 대해 Hodge 모듈의 푸시포워드 j_*O_U의 관련 그레디에이션을 계산하는 것.
• 이 푸시포워드에 의해 유도되는 Hodge 및 무게 필터링의 구조를 이해하는 것, 특히 기하학적 표현 이론과 호모로지적 링크 불변량의 맥락에서.
• 관련 그레디에이션 함자와 함께 D_h-모듈 위의 카테고리적 sl₂ 작용과 Saito의 혼합 Hodge 모듈 이론 사이의 연결 고리를 확립하는 것.
• Lagrangian Grassmannian과 쌍곡형을 포함한 cominuscule 플래그 다양체로 계산을 일반화하고, cotangent bundle 위의 코herent sheaf에 대해 유사한 결과를 추측하는 것.

제안 방법

• Incidence 대응의 정규화 다양체 위에 지지되는 커널을 통해 Grassmannian 위의 D_h-모듈 카테고리에 대한 카테고리적 sl₂ 작용을 구성한다.
• 필터링된 D-모듈과 cotangent bundle 위의 코herent sheaf 사이의 관계를 설정하기 위해 함자 gr: D_h-mod → O_{T*X}-mod를 적용한다.
• D_h-모듈의 커널과 관련 그레디에이션 함자 간의 상호작용을 분석하여, 필터링이 푸시포워드 하에서 어떻게 행동하는지 명확히 한다.
• Riemann-Hilbert 대응과 faisceaux-fonctions 대응을 활용하여 구조적 복소수를 D-모듈과 Hodge 모듈로 연결한다.
• cominuscule 포물형 부분군에 대해 G/P × G/Q 위의 G-궤도의 구조를 연구하며, 차원이 감소하는 순서가 매겨진 궤도 집합 Z₀, ..., Z_k 를 식별한다.
• 관련 그레디에이션의 Hodge 모듈 푸시포워드가 이 궤도의 폐쇄 위에 지지되는 이동된 IC-다발들의 직합임을 추측하며, 이는 궤도의 codimension에 따라 인덱싱된 필터링을 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 U가 보편 Grassmannian의 곱에서 교차하는 부분공간 쌍을 매개변수화하는 개집합일 때, Hodge 필터링에 대한 Hodge 모듈 j_*O_U의 관련 그레디에이션의 구조는 무엇인가?
• RQ2 이 관련 그레디에이션 위의 무게 필터링은 G-궤도에 의해 cotangent bundle가 분할되는 분할과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 Grassmannian 위의 D_h-모듈에 대한 카테고리적 sl₂ 작용이 Hodge 모듈 푸시포워드의 관련 그레디에이션을 계산하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 이 맥락에서 D_h-모듈의 커널과 관련 그레디에이션 함자 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 결과는 Lagrangian Grassmannian이나 짝수 차원의 쌍곡형을 포함한 다른 cominuscule 플래그 다양체로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• Hodge 모듈 j_*O_U의 관련 그레디에이션은 X = G(k,N) × G(N−k,N)의 cotangent bundle 위의 국소적으로 닫힌 부분집합에서 오는 선다발의 푸시포워드와 동형이다.
• gr(G(j_*O_U)) 위의 무게 필터링은 G-궤도 Z_s 의 codimension에 따라 인덱싱된 자연스러운 필터링으로 표현되며, gr^W_s 는 Z_s 의 폐쇄 위에 지지된다.
• Hodge 모듈의 기저가 되는 D_h-모듈의 관련 그레디에이션은 이동된 IC-다발들의 직합으로 식별된다: gr^W_s(j_*δ_{Z₀,m}) ≅ IC_{Z̄_s,m}{s} for s = 0,…,k.
• G/P와 G/Q 위의 D_h-모듈 간의 동치를 유도하는 커널이 관련 그레디에이션 측면에서도 동치를 유도하며, 이 관련 그레디에이션 커널은 정규화된 정규화 다양체에서 오는 선다발의 푸시포워드임을 보였다.
• cominuscule 플래그 다양체의 경우, T^*G/P ×_g T^*G/Q의 기약 성분은 궤도 Z_s 의 정규화 다발의 폐쇄이며, 관련 그레디에이션 커널은 이 다양체의 밀도 있는 열린 부분집합에서 오는 선다발의 직접 이미지일 것으로 기대된다.
• 관련 그레디에이션의 Hodge 모듈 푸시포워드가 이동된 IC-다발들의 직합임을 추측하며, O_{T^*X}-측면의 커널이 정규화된 정규화 다양체에서 오는 선다발의 푸시포워드임을 추측한다.