[논문 리뷰] Associating vectors in $\CC^n$ with rank 2 projections in $\RR^{2n}$: with applications

Peter G. Casazza, Desai Cheng|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 08.

Image Processing Techniques and Applications참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 ℂⁿ의 벡터와 ℝ²ⁿ의 질량-2 투영 사이의 대응을 수립하여, 노름, 내적, 단계 복원, 융합 프레임, 등각성과 같은 핵심 성질을 복소수와 실수 설정 간 이동 가능하게 한다. 핵심 기여는 Edidin의 단계 복원에 관한 정리의 복소수 해석을 제공함으로써 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한 것으로, 상호수축기저, 등각적 프레임, 융합 프레임이 ℂⁿ에서 ℝ²ⁿ로의 대응 구조를 가지며 존재 가능성과 구성 가능성의 향상이 가능함을 보여준다.

ABSTRACT

We will see that vectors in $\CC^n$ have natural analogs as rank 2 projections in $\RR^{2n}$ and that this association transfers many vector properties into properties of rank two projections on $\RR^{2n}$. We believe that this association will answer many open problems in $\CC^n$ where the corresponding problem in $\RR^n$ has already been answered - and vice versa. As a application, we will see that phase retrieval (respectively, phase retrieval by projections) in $\CC^n$ transfers to a variation of phase retrieval by rank 2 projections (respectively, phase retrieval by projections) on $\RR^{2n}$. As a consequence, we will answer the open problem: Give the complex version of Edidin's Theorem \cite{E} which classifies when projections do phase retrieval in $\RR^n$. As another application we answer a longstanding open problem concerning fusion frames by showing that fusion frames in $\CC^n$ associate with fusion frames in $\RR^{2n}$ with twice the dimension. As another application, we will show that a family of mutually unbiased bases in $\CC^n$ has a natural analog as a family of mutually unbiased rank 2 projections in $\RR^{2n}$. The importance here is that there are very few real mutually unbiased bases but now there are unlimited numbers of real mutually unbiased rank 2 projections to be used in their place. As another application, we will give a variaton of Edidin's theorem which gives a surprising classification of norm retrieval. Finally, we will show that equiangular and biangular frames in $\CC^n$ have an analog as equiangular and biangular rank 2 projections in $\RR^{2n}$.

연구 동기 및 목표

• ℂⁿ의 벡터와 ℝ²ⁿ의 질량-2 투영 간의 수학적 대응을 수립하여 노름과 내적의 구조를 유지한다.
• ℝⁿ에서의 투영에 의한 단계 복원에 관한 Edidin의 정리의 복소수 해석을 찾는 열린 문제를 해결한다.
• 융합 프레임, 상호수축기저(MUBs), 등각/이등각 조임 프레임이 ℂⁿ에 존재할 경우, 이들이 ℝ²ⁿ에서 유사한 구조를 가지며 존재 가능성과 구성 성질이 향상됨을 보여준다.
• ℂⁿ에서의 단계 복원이 ℝ²ⁿ에서 질량-2 투영에 의한 변형된 단계 복원과 동치임을 보이며, 새로운 분류 결과를 도출한다.

제안 방법

• 각 ℂⁿ의 벡터를 노름과 내적을 유지하는 표준 등장 임bedding을 통해 ℝ²ⁿ의 질량-2 투영으로 표현한다.
• 항등식 |⟨v, w⟩| = ‖v‖‖Pᵥw′‖ 및 tr(PᵥPᵥ) = 2|⟨v, w⟩|²을 사용하여 내적과 노름 정보를 실수 투영 공간으로 이동시킨다.
• 이 대응을 단계 복원에 적용하여, ℂⁿ에서의 단계 복원이 ℝ²ⁿ에서 질량-2 투영에 의한 단계 복원과 동치임을 보인다.
• 기하적 추론과 투영 대응을 조합하여 Edidin의 정리의 복소수 해석을 증명함으로써, 단계 복원을 수행하는 데 필요한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 이 프레임워크를 융합 프레임과 등각/이등각 조임 프레임으로 확장하여, 조임성과 각도 성질이 이 대응 하에서 유지됨을 보인다.
• 이 대응을 활용하여 임의의 m ≥ n에 대해 ℝ²ⁿ에서 m개의 2차원 부분공간으로 이루어진 조임 융합 프레임을 구성함으로써 융합 프레임 이론에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℂⁿ에서의 단계 복원은 ℝ²ⁿ의 질량-2 투영을 포함하는 실수 해석으로 특징지을 수 있는가?
• RQ2 실수 사례와 유사하게 ℝⁿ에서의 투영이 단계 복원을 수행하는 조건을 분류하는 복소수 해석의 Edidin 정리가 존재하는가?
• RQ3 ℂⁿ에서의 상호수축기저(MUBs)는 ℝ²ⁿ에서 상호수축 기반의 질량-2 투영으로 대체될 수 있으며, 이로 인해 훨씬 더 풍부한 구성이 가능해지는가?
• RQ4 ℂⁿ에서의 등각 및 이등각 조임 프레임은 제시된 사상 하에서 ℝ²ⁿ에서 등각 및 이등각 조임 융합 프레임으로 대응되는가?
• RQ5 이 대응을 통해 ℝ²ⁿ에서 m ≥ n인 모든 m에 대해 m개의 2차원 부분공간으로 이루어진 조임 융합 프레임의 존재를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Edidin의 정리의 복소수 해석을 제공한다: ℂⁿ에서의 투영 가족이 단계 복원을 수행하는 것은, 해당하는 ℝ²ⁿ의 질량-2 투영이 투영의 합성 공간에 대해 기하학적 조건을 만족할 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 모든 m ≥ n에 대해 ℝ²ⁿ에서 m개의 2차원 부분공간으로 이루어진 조임 융합 프레임이 존재한다. 이는 융합 프레임 이론에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• ℂⁿ에서의 상호수축기저(MUBs)는 ℝ²ⁿ에서 상호수축 기반의 질량-2 투영 가족으로 대응되며, 실수 MUBs보다 훨씬 더 많은 수의 이러한 가족을 구성할 수 있다.
• ℂⁿ에서의 등각 및 이등각 조임 프레임은 ℝ²ⁿ에서 등각 및 이등각 조임 융합 프레임으로 대응되며, 각도 구조와 조임성은 유지된다.
• 이 대응을 통해 ℂⁿ에서의 노름 복원의 영상으로 인해 ℝ²ⁿ에서의 노름 복원이 가능해지며, 투영 프레임워크에서 유도된 새로운 분류 결과가 도출된다.
• ℝ²ⁿ에서 질량-2 투영의 등각 가족의 수는 ℝⁿ에서의 등각 직선의 수를 초과한다. 이는 더 rich한 구조를 제공하며, 예를 들어 ℝ¹⁴에서는 15개의 등각 가족이 존재하지만, 등각 직선은 오직 28개 뿐이다.