[논문 리뷰] Assouad-Nagata dimension of locally finite groups and asymptotic cones

J. Higes|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기하군론에서 Assouad-Nagata 차원과 관련된 두 개의 열린 문제를 해결한다: 유한한 양의 Assouad-Nagata 차원을 가진 국소적으로 유한한 군의 구조를 만들었으며, 이는 그러한 차원이 반드시 무한해야 한다는 주장에 대해 부정적인 답변을 제공한다. 또한, 양의 Assouad-Nagata 차원을 가진 메트릭 공간을 제시하였고, 그들의 점근적 콘은 모두 초메트릭 구조를 띠며, 이는 점근적 극한에서의 차원 행동에 관해 제기된 질문에 대해 긍정적인 답변을 제공한다. 이 구조들은 유한군의 직접합과 쿼드라-초메트릭 구조, 그리고 곱공간 내 확대된 입방체의 제어를 통해 이루어진다.

ABSTRACT

In this work we study two problems about Assouad-Nagata dimension: 1) Is there a metric space of non zero Assouad-Nagata dimension such that all of its asymptotic cones are of Assouad-Nagata dimension zero? (Dydak and Higes) 2) Suppose $G$ is a locally finite group with a proper left invariant metric $d_G$. If $\dim_{AN}(G, d_G)>0$, is $\dim_{AN} (G, d_G)$ infinite? (Brodskiy, Dydak and Lang) The first question is answered positively not only for general metric spaces but also for discrete groups with proper left invariant metrics. The second question has a negative solution. We show that for each $n$ there exists a locally finite group of Assouad-Nagata dimension $n$. A generalization to countable groups of arbitrary asymptotic dimension is given

연구 동기 및 목표

• 문헌 [11]의 질문 4.5를 해결한다: 양의 Assouad-Nagata 차원을 가진 메트릭 공간이 모든 점근적 콘의 차원이 0인가를 묻는다.
• 문헌 [6]의 문제 5.3에 답한다: 국소적으로 유한한 군이 양의 Assouad-Nagata 차원을 가질 경우, 그 차원이 반드시 무한해야 하는가를 묻는다.
• 모든 자연수 n ≥ 1에 대해 유한하고 임의의 Assouad-Nagata 차원 n을 가진 가산 국소적으로 유한한 군의 구체적 예를 제시한다.
• 가산 군에서 점근적 차원과 점근적 Assouad-Nagata 차원이 유한하고 임의의 크기로 다를 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 증가하는 k_i를 가지는 유한한 n차원 군 Z_{k_i}^n의 직접합으로 구성된 국소적으로 유한한 군 G^n을 만든다.
• 각 성분에서의 단어 거리로부터 유도된 쿼드라-초메트릭 d_G를 군에 부여하여 좌이항성과 적절한 성질을 확보한다.
• 곱공간 내의 확대된 입방체를 사용하여 제어 함수 D(s) = C·s + k의 형태로 점근적 Assouad-Nagata 차원을 제어한다.
• 레마 4.7과 레마 4.8을 적용하여 커버에서 s-스케일 연결 성분의 지름을 유계화함으로써, 차원이 정확히 n임을 증명한다.
• 무한 차원의 경우, G = ⨁_{i=1}^∞ G_i^i (여기서 G_i^i = Z_{k_i}^i)로 정의하여, 모든 n에 대해 asdim_AN(G) ≥ n임을 보인다.
• 혼합 거리 구조를 가진 곱군 G^{(n,k)} = Z^n ⊕ G^k를 구성하여, asdim(G) = n 및 asdim_AN(G) = n+k를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 Assouad-Nagata 차원을 가진 메트릭 공간이 존재하는가, 그 모든 점근적 콘의 차원이 0인가?
• RQ2 국소적으로 유한한 군이 양의 Assouad-Nagata 차원을 가지며, 그에 대한 적절한 좌이항 메트릭을 갖는다면, 그 차원이 반드시 무한해야 하는가?
• RQ3 모든 자연수 n ≥ 1에 대해, 유한하고 임의의 Assouad-Nagata 차원 n을 가진 가산 국소적으로 유한한 군을 구성할 수 있는가?
• RQ4 가산 군에서 점근적 차원과 점근적 Assouad-Nagata 차원이 유한하고, 사전에 정해진 크기로 다를 수 있는가?
• RQ5 유한한 점근적 차원을 가진 가산 군이 존재하는가, 그에 대해 적절한 좌이항 메트릭 하에서 유한하지만 더 큰 점근적 Assouad-Nagata 차원을 가지는가?

주요 결과

• 모든 n ∈ ℕ에 대해, 적절한 좌이항 메트릭 d_n을 가진 국소적으로 유한한 군 G^n이 존재하여 asdim_AN(G^n, d_n) = n임을 보였다.
• 이 구조는 증가하는 k_i와 r_i = floor(k_i/2)를 가지는 유한한 n차원 군 Z_{k_i}^n의 직접합을 사용하며, 이로 인해 n차원 확대된 입방체의 존재를 보장한다.
• 구성된 공간의 점근적 콘은 모두 초메트릭 구조를 띠며, 이는 [11]의 질문 4.5에 대해 긍정적인 답변을 제공한다.
• 모든 n과 k ∈ ℕ ∪ {∞}에 대해, asdim(G^{(n,k)}, d_{(n,k)}) = n 및 asdim_AN(G^{(n,k)}, d_{(n,k)}) = n+k를 만족하는 가산 아벨 군 G^{(n,k)}가 존재한다.
• 이 결과는 점근적 차원과 점근적 Assouad-Nagata 차원 사이의 차이가 가산 군에서 유한하고 임의로 클 수 있음을 보여준다.
• 논문은 군의 점근적 Assouad-Nagata 차원을 그 유한 생성 부분군들의 차원의 상한으로 정의할 수 없다는 가능성을 반박한다.