[논문 리뷰] Asymptotic analysis for the ratio of the random sum of squares to the square of the random sum with applications to risk measures

Sophie A. Ladoucette, J. L. Teugels|ArXiv.org|2005. 11. 03.

Probability and Risk Models참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 파레토형 꼬리와 일반적인 수세기 과정 하에서 무작위 제곱합의 비율과 무작위 합의 제곱 사이의 점근적 분포를 유도하여, 모멘트가 무한대일 경우에도 표본 변동계수와 표본 분산의 점근적 분석을 가능하게 한다. 주요 기여는 다양한 모멘트 조건과 $ \mathcal{D} $-또는 $ p $-평균화 수세기 과정 하에서 $ T_{N(t)} $에 대한 극한정리 수립으로, 이는 이전의 결정론적 결과를 확장한 것이다.

ABSTRACT

Let \{X_1, X_2, ...\} be a sequence of independent and identically distributed positive random variables of Pareto-type with index α>0 and let \{N(t); t\geq 0\} be a counting process independent of the X_i's. For any fixed t\geq 0, define T_{N(t)}:=\frac{X_1^2 + X_2^2 + ... + X_{N(t)}^2} {(X_1 + X_2 + ... + X_{N(t)})^2} if N(t)\geq 1 and T_{N(t)}:=0 otherwise. We derive limiting distributions for T_{N(t)} by assuming some convergence properties for the counting process. This is even achieved when both the numerator and the denominator defining T_{N(t)} exhibit an erratic behavior (\mathbb{E}X_1=\infty) or when only the numerator has an erratic behavior (\mathbb{E}X_1

연구 동기 및 목표

• 무작위 수세기 과정의 경우를 초월하여 결정론적 수세기 과정의 경우에 한정된 $ T_{N(t)} = \frac{\sum X_i^2}{(\sum X_i)^2} $의 점근적 결과를 일반화한다.
• 기초 분포의 1차 또는 2차 모멘트가 무한대일 경우 표본 변동계수와 표본 분산의 점근적 행동을 분석한다.
• 파레토형 분포의 꼬리 지수 $ \alpha $의 다양한 영역에서 $ T_{N(t)} $에 대한 극한정리를 정규변화 이론을 활용해 수립한다.
• 모멘트 조건이 만족되지 않을 수 있는 보험 및 금융 응용 분야에서 리스크 측도의 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 정규변화 이론과 라플라스 변환을 활용하여 다양한 모멘트 조건 하에서 $ T_{N(t)} $의 점근적 행동을 분석한다.
• 수세기 과정 $ \{N(t)\} $에 대해 $ \mathcal{D} $-평균화 및 $ p $-평균화 조건을 적용하여 약한 수렴 결과를 도출한다.
• 수세기 과정에 조건을 두고 정규화된 합의 비율을 분석하여 $ T_{N(t)} $의 극한 분포를 도출한다.
• 표본 변동계수와 $ T_{N(t)} $ 간의 연결 고리를 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} = \sqrt{N(t)T_{N(t)} - 1} $를 통해 수립한다.
• 슬루츠크리의 정리와 연속함수 정리(continuous mapping theorem)를 활용하여 표본 분산과 변동계수의 수렴성 분포를 도출한다.
• 수세기 과정이 탈락적 극한을 보일 경우, 결정론적 $ N(t) $ 조건 하에서 Albrecher와 Teugels (2005)의 결과를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 수세기 과정 $ N(t) $ 하에서 $ X_i $가 인덱스 $ \alpha > 0 $를 가진 i.i.d. 파레토형 분포를 따를 때, $ T_{N(t)} = \frac{\sum_{i=1}^{N(t)} X_i^2}{(\sum_{i=1}^{N(t)} X_i)^2} $의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ2 기대값 $ \mathbb{E}[X] = \infty $ 또는 분산 $ \mathbb{E}[X^2] = \infty $일 경우 표본 변동계수 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} $의 점근적 행동은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 다양한 모멘트 조건과 일반적인 $ N(t) $ 하에서 표본 분산 $ \widehat{\mathrm{D}(X)} $의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ4 수세기 과정 $ N(t) $가 결정론적이지 않지만 시간에 따라 $ \mathcal{D} $-평균화 또는 $ p $-평균화될 경우 결과를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 파레토형 분포의 꼬리 지수 $ \alpha $에 따라 $ T_{N(t)} $와 유도된 리스크 측도의 극한 분포는 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 모든 $ \alpha > 2 $에 대해 $ \frac{t^{1-2/\alpha}}{\ell^*(t)} \left( \widehat{\mathrm{CoVar}(X)}^2 - \mathrm{CoVar}(X)^2 \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} \frac{1}{\mu_1} \cdot \frac{W_{\alpha/2}}{\Lambda^{1-2/\alpha}} $ 이며, $ t \to \infty $일 때 성립한다. 여기서 $ \Lambda $는 $ N(t)/t $의 극한 랜덤 변수이다.
• 모든 $ \mu_1 = \infty $일 경우 $ \frac{t^{1/2 - 2/\alpha}}{\ell^*(t)} \left( \widehat{\mathrm{CoVar}(X)}^2 - \mathrm{CoVar}(X)^2 \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} 0 $ 인 확률적 수렴을 보이며, 이는 탈락적 수렴을 의미한다.
• 모든 $ \mu_4 < \infty $일 경우 $ \sqrt{t} \left( \widehat{\mathrm{D}(X)} - \mathrm{D}(X) \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} \frac{\mathrm{N}(0, \sigma_{**}^2)}{\sqrt{\Lambda}} $ 이며, $ \sigma_{**}^2 $ 는 최대 4차 모멘트로 명시적으로 정의된다.
• 균일적 적분 가능성과 $ \mathbb{E}[\Lambda^{-1}] < \infty $ 조건 하에서 $ \mathbb{V}\left\{ \widehat{\mathrm{D}(X)} \right\} \sim \sigma_{**}^2 \mathbb{E}[\Lambda^{-1}] \cdot \frac{1}{t} $ 를 만족하며, 이는 점근적 분산이 $ 1/t $ 속도로 감소함을 보여준다.
• 표본 변동계수 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} $ 는 동일한 조건 하에서 일致성과 점근적 불편성을 보이며, $ \mathbb{E}[\widehat{\mathrm{CoVar}(X)}] \to \mathrm{CoVar}(X) $ 를 만족한다.
• 수세기 과정 $ \Lambda $ 가 1에 탈락적일 경우, 결과는 결정론적 경우에 대해 Albrecher와 Teugels (2005)의 결과를 복원한다.