[논문 리뷰] Asymptotic analysis of the 2D convective Brinkman-Forchheimer equations in unbounded domains: Global attractors and upper semicontinuity

Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 45인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유계 및 Poincaré 도메인에서 2차원 대류 브링크만-포르히머 방정식에 대해 전역적이고 지수적 수렴성을 보이는 근원집합의 존재를 증명하며, 근원집합의 유한한 프랙탈 차원과 하우스도르프 차원을 입증한다. 또한 도메인 근사화에 따른 근원집합의 상위 반연속성도 입증하며, Darcy 항을 활용하여 준유계 도메인으로 결과를 확장한다. 이는 준안정성과 점근적 컴actness를 기반으로 한다.

ABSTRACT

In this work, we carry out the asymptotic analysis of the two dimensional convective Brinkman-Forchheimer (CBF) equations, which characterize the motion of incompressible fluid flows in a saturated porous medium. We establish the existence of a global attractor in both bounded (using compact embedding) and Poincaré domains (using asymptotic compactness property). In Poincaré domains, for $r=1,2$ and $3$, the estimates for Hausdorff as well as fractal dimensions of the global attractors are also obtained. We then show an upper semicontinuity of global attractors for the 2D CBF equations. We consider an expanding sequence of simply connected, bounded and smooth subdomains $Ω_m$ of the Poincaré domain $Ω$ such that $Ω_m oΩ$ as $m o\infty$. If $\mathscr{A}_m$ and $\mathscr{A}$ are the global attractors of the 2D CBF equations corresponding to $Ω$ and $Ω_m$, respectively, then we show that for large enough $m$, the global attractor $\mathscr{A}_m$ enters into any neighborhood $\mathcal{U}(\mathscr{A})$ of $\mathscr{A}$. The presence of Darcy term in the CBF equations helps us to obtain the above mentioned results in general unbounded domains also. Finally, we discuss about the quasi-stability property of the semigroup associated with the 2D CBF equations in bounded domains and establish the existence of finite fractal dimensional global as well as exponential attractors for $r\in[1,\infty)$.

연구 동기 및 목표

• 준유계 및 Poincaré 도메인에서 2차원 대류 브링크만-포르히머(CBF) 방정식의 해의 장기적 행동을 분석한다.
• 콤��� 탑재성과 점근적 컴팩트니스를 활용하여 유계 및 Poincaré 도메인에서 전역 근원집합의 존재를 확립한다.
• Poincaré 도메인에서 r = 1, 2, 3에 대해 전역 근원집합의 프랙탈 및 하우스도르프 차원에 대한 추정치를 유도한다.
• 확장 가능한 유계 부분도메인 Ωₘ ↗ Ω를 통한 도메인 근사화 하에서 전역 근원집합의 상위 반연속성을 증명한다.
• 반세기의 반세기 성질을 분석하고, 유계 도메인에서 r ∈ [1, ∞)에 대해 유한 차원 지수적 근원집합을 확립한다.

제안 방법

• 유계 도메인에서 근원집합의 수렴성과 유한 차원성을 입증하기 위해 준안정성 방법을 활용한다.
• 점근적 컴팩트니스 성질을 적용하여 Poincaré 도메인에서 전역 근원집합을 확립하며, Poincaré 부등식을 활용한다.
• 유계 도메인에서의 콤팩트 탑재성과 Darcy 항을 활용하여 결과를 준유계 도메인으로 확장한다.
• 제3.4.11정리 [9]와 보간 부등식을 활용하여 프랙탈 및 하우스도르프 차원에 대한 추정치를 유도한다.
• 흡수집합에서 반세기의 호일더 연속성을 분석하여 지수적 근원집합의 존재를 확인한다.
• 확장되는 유계 부분도메인의 수열 Ωₘ ↗ Ω를 고려하여 Aₘ → A로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준유계 Poincaré 도메인에서 2차원 CBF 방정식에 대해 전역 근원집합이 존재하는가?
• RQ2 Poincaré 도메인에서 r = 1, 2, 3일 때 전역 근원집합의 프랙탈 및 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ3 확장 가능한 유계 부분도메인으로 도메인을 근사할 경우 전역 근원집합은 상위 반연속적인가?
• RQ4 유계 도메인에서 모든 r ∈ [1, ∞)에 대해 2차원 CBF 방정식에 대해 지수적 근원집합을 구성할 수 있는가?
• RQ5 Darcy 항은 어떻게 유계가 아닌 도메인으로의 근원집합 결과 확장을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 유계 도메인(콤팩트 탑재성에 기반)과 Poincaré 도메인(점근적 컴팩트니스에 기반)에서 전역 근원집합이 존재한다.
• r = 1, 2, 3일 때 Poincaré 도메인에서의 전역 근원집합은 유한한 프랙탈 및 하우스도르프 차원을 가지며, 준안정성 방법을 통해 명시적인 추정치가 유도된다.
• 전역 근원집합은 상위 반연속성이다: 충분히 큰 m에 대해, Ωₘ ↗ Ω일 때 Aₘ는 A의 임의의 이웃 U(A)에 포함된다.
• 유계 도메인에서 2차원 CBF 방정식과 관련된 반세기의 반세기 성질이 성립하며, 이는 모든 r ∈ [1, ∞)에 대해 유한 차원 지수적 근원집합의 구성이 가능함을 보장한다.
• Darcy 항(α > 0)은 추가적인 분산을 제공하므로, 준유계 도메인에서 근원집합의 존재를 확보하는 데 필수적이다.
• 반세기의 반세기 성질과 [9]의 제3.4.11정리의 적용을 통해 지수적 근원집합의 존재가 도출된다.