[논문 리뷰] Asymptotic behavior of a Bingham Flow in thin domains with rough boundary

Giuseppe Cardone, Carmen Perugia외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 06.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 31인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 두께 파arameter ϵ → 0 일 때, 거친 주기적 경계를 가진 얇은 도메인에서 비압축성 Bingham 유체의 점근적 행동을 분석한다. 적응형 선형 전개 연산자를 사용하여, 비선형 점탄성 유동 특성을 유지하는 균질화된 극한 문제를 유도하며, 이 극한 문제의 해가 비선형 Darcy의 법칙을 따르며 거친 미세구조를 통한 효과적인 거시적 유동을 기술함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider an incompressible Bingham flow in a thin domain with rough boundary, under the action of given external forces and with no-slip boundary condition on the whole boundary of the domain. In mathematical terms, this problem is described by non linear variational inequalities over domains where a small parameter $\epsilon$ denotes the thickness of the domain and the roughness periodicity of the boundary. By using an adapted linear unfolding operator we perform a detailed analysis of the asymptotic behavior of the Bingham flow when $\epsilon$ tends to zero. We obtain the homogenized limit problem for the velocity and the pressure, which preserves the nonlinear character of the flow, and study the effects of the microstructure in the corresponding effective equations. Finally, we give the interpretation of the limit problem in terms of a non linear Darcy law.

연구 동기 및 목표

• 두께 파arameter ϵ → 0 일 때, 얇은 도메인에서 정적인 비압축성 Bingham 유동의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 미세구조의 거칠음이 얇은 유체 필름 내 거시적 흐름 거동에 미치는 영향을 고려하는 것.
• Bingham 유체의 비선형 특성을 유지하는 균질화된 극한 문제를 유도하는 것.
• 균질화된 문제를 효과적인 여과 속도를 지배하는 비선형 Darcy 유형 법칙의 관점에서 해석하는 것.

제안 방법

• 거친 주기적 미세구조를 가진 얇은 도메인에 특화된 적응형 선형 전개 연산자를 사용하여, 경계의 진동하는 특성을 다룬다.
• 압력에 대한 균일한 추정을 확보하기 위해 수정된 확장 연산자를 도입하여 Tartar의 접근법을 Bingham 경우로 일반화한다.
• 적절한 함수 공간에서의 약한 수렴 및 강한 수렴을 통해 속도 및 압력 수열의 수렴성을 확립한다.
• 전개 방법을 사용하여 두 스케일 극한을 도출하며, 이는 곱 도메인 ω × Y∗에서의 변분부등식으로 나타난다.
• 기본 주기 세포 Y∗에서의 세포 문제를 도입하여 극한 문제를 비선형 Darcy 법칙으로 재구성한다.
• 비선형 연산자 A(·)는 기본 주기 세포 Y∗에서 국소 Bingham 문제의 해를 통해 정의되며, 이는 미세구조의 효과적 투과도를 캐릭터라이즈한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두께 ϵ → 0 일 때, 거친 주기적 경계는 얇은 도메인에서 Bingham 유체의 거시적 흐름 거동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 이 설정에서 속도 및 압력 장의 균질화된 극한 문제는 무엇이며, Bingham 모델의 비선형 성격을 어떻게 유지하는가?
• RQ3 극한 문제는 비선형 Darcy 법칙으로 해석될 수 있는가? 만약 그렇다면, 효과적 비선형 투과도 연산자의 형태는 무엇인가?
• RQ4 미세구조의 거칠음과 항력 응력은 얇은 도메인 내 효과적 흐름 특성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• Bingham 유동에 대한 균질화된 극한 문제로, 두 스케일 변분부등식이 곱 도메인 ω × Y∗에서 유도되었으며, 비선형 점탄성 거동을 유지한다.
• 극한 문제가 A( ˆf − ∇ˆxp) 형태의 비선형 Darcy 법칙과 동치임을 보였으며, 여기서 A는 기본 주기 세포 Y∗에서의 세포 문제를 통해 정의된 비선형 연산자이다.
• 효과적 여과 속도 ˆV 는 세포 Y∗에서의 미세속도 평균으로 주어지며, 거시적 도메인 ω 내에서 비압축성 조건을 만족한다.
• 비선형 연산자 A(·)는 세포 Y∗에서의 국소 Bingham 문제의 해 χ(ˆξ)를 통해 정의되며, 이는 미세구조에서의 항력 응력과 점성 저항을 반영한다.
• 항력 응력 g → 0 일 때, 수렴 결과는 고전적인 뉴턴 유체 극한(예: [6])을 특수한 경우로 복원한다.
• 전개 방법과 적응형 확장 기법을 사용하여 속도 및 압력에 대한 필요 충분성 및 수렴 성질을 확립하였다.