[논문 리뷰] Asymptotic behavior of CLS estimator of autoregressive parameter for nonprimitive unstable INAR(2) models

Mátyás Barczy, Márton Ispány외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 23.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비원천 불안정 INAR(2) 과정에서 자기회귀 파라미터에 대한 조건부 최소제곱(MLS) 추정량의 渐近 분포를 수립한다. 스케일링된 랜덤 스텝 과정이 제곱 브레슬 과정으로 약한 수렴함을 이용하여, MLS 추정량의 극한 분포를 표준 브라운 운동의 함수로 유도하며, Itô 적분과 이차 변동의 비율로 수렴함을 보인다.

ABSTRACT

In this paper the asymptotic behavior of conditional least squares estimators of the autoregressive parameter for nonprimitive unstable integer-valued autoregressive models of order 2 (INAR(2)) is described.

연구 동기 및 목표

• 비원천 불안정 INAR(2) 과정에서 자기회귀 파라미터에 대한 조건부 최소제곱(MLS) 추정량의 渐近 행동을 분석하는 것.
• 기존의 안정적이고 거의 불안정한 INAR(p) 모델에 대한 결과를 단위근을 가진 비원천 불안정 INAR(2) 모델의 경우로 확장하는 것.
• 적절하게 스케일링된 표본 경로의 약한 수렴을 제곱 브레슬 과정(Cox-Ingersoll-Ross 과정)으로 수립하여 극한 분포 유도를 가능하게 하는 것.
• MLS 추정량의 극한 분포를 브라운 운동의 함수로 유도하여, 단위근을 가진 INAR(2) 모델에서의 추론에 대한 이론적 근거를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 INAR(2) 과정에서 생성된 스케일링된 랜덤 스텝 과정의 약한 수렴을 제곱 브레슬 과정(Cox-Ingersoll-Ross 과정)으로 사용하며, 이는 연속 상태 분열 과정이다.
• 기능적 중심극한정리와 마틴갈 방법을 적용하여 주요 통계량의 동시 渐近 행동을 분석한다: 설계 행렬의 행렬식과 교차곱 벡터.
• MLS 추정량은 과정의 경험적 모멘트를 포함하는 정규화된 이차형식에 대한 함수 g로 표현된다.
• 연속성 사상 정리와 슬러츠키의 보조정리를 사용하여 극한 분포를 도출하며, 수렴 분포가 표준 브라운 운동의 Itô 적분과 이차 변동의 비율로 수렴함을 보인다.
• 분석은 오차 항의 분포가 유한한 두 번째 모멘트를 가지며, 과정이 비원천 불안정하다는 가정에 기반한다. 즉, 특성다항식이 단위근을 가지지만 원천적( primitive )이 아니라는 뜻이다.
• 핵심 기술적 단계는 정규화된 오차 항이 함께 분포 수렴하여 이중 브라운 운동의 함수로 수렴함을 보이는 것으로, 최종 극한 분포로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비원천 불안정 INAR(2) 과정에서 자기회귀 파라미터에 대한 조건부 최소제곱 추정량의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ2 안정적 또는 거의 불안정한 INAR(2) 모델과 비교하여 비원천 불안정한 경우에서 MLS 추정량의 渐 asymptotic 행동은 어떻게 다를까?
• RQ3 스케일링된 표본 경로의 약한 수렴이 제곱 브레슬 과정으로 이루어질 경우, MLS 추정량의 극한 분포를 도출하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 오차 항의 분포가 두 번째 모멘트가 분포의 분산에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 비원천 불안정 INAR(2) 설정에서 MLS 추정량은 일관적이고 渐 asymptotically 정규인가, 아니면 다른 극한 분포가 필요한가?

주요 결과

• 비원천 불안정 INAR(2) 모델에서 자기회귀 파라미터에 대한 MLS 추정량은 표준 브라운 운동의 함수로 수렴하는 분포를 갖는다.
• 극한 분포는 표준 브라운 운동의 Itô 적분과 이차 변동의 비율로 특징지어지며, 구체적으로 $ \frac{\int_0^1 \mathcal{W}_t \, d\mathcal{W}_t}{\int_0^1 (\mathcal{W}_t)^2 \, dt} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ 로 표현되며, 여기서 $ \mathcal{W}_t $ 는 표준 위너 과정이다.
• 오차 분산이 양이며 과정이 비원천 불안정할 조건 하에서 수렴이 성립한다. 즉, 특성다항식이 단위근을 가지지만 원천적이지 않다.
• 극한 분포는 비퇴화적이며 상수로 수렴하지 않아, 이 설정에서 MLS 추정량이 渐 asymptotically 정규가 아님을 시사한다.
• 극한 분포는 $ n^{-5} \det(\mathbf{A}_n) \to \frac{\mu_\varepsilon^2 \sigma_\varepsilon^2}{12} \int_0^1 (\mathcal{W}_t)^2 \, dt $ 와 $ n^{-4} \widetilde{\mathbf{A}}_n \mathbf{d}_n \to \frac{\mu_\varepsilon^2 \sigma_\varepsilon^2}{12} \int_0^1 \mathcal{W}_t \, d\mathcal{W}_t \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ 로 주어지는 정규화된 통계량의 동시 수렴을 통해 도출된다.
• 이 극한 분포는 분포에 무관하다고 할 수 있다. 즉, 특정 오차 분포에 따라 달라지지 않고, 오직 표준 브라운 운동의 경로 성질에만 의존한다.