[논문 리뷰] Asymptotic behavior of compositions of under-relaxed nonexpansive operators

Jean-Bernard Baillon, Patrick L. Combettes외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 26.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 비확장 연산자의 과도하게 유예된 합성과 그 평균의 고정점 사이의 渐近적 연결을 수립한다. 이를 통해 ε→0일 때, 과도하게 유예된 순환 반복의 근처 순환은 약한 수렴(정규성 조건 하에 강한 수렴)을 보이며, 평균 제곱거리 함수의 최소화자로 수렴함을 증명함으로써, De Pierro의 추측을 애매하지 않은 부분공간과 더 일반적인 볼록집합에 대해 확인한다.

ABSTRACT

In general there exists no relationship between the fixed point sets of the composition and of the average of a family of nonexpansive operators in Hilbert spaces. In this paper, we establish an asymptotic principle connecting the cycles generated by under-relaxed compositions of nonexpansive operators to the fixed points of the average of these operators. In the special case when the operators are projectors onto closed convex sets, we prove a conjecture by De Pierro which has so far been established only for projections onto affine subspaces.

연구 동기 및 목표

• 비확장 연산자의 과도하게 유예된 합성의 고정점과 그 평균의 고정점 사이의 장기적인 열린 문제를 해결하기 위해.
• 과도하게 유예된 반복의 근처 순환과 평균 제곱거리 함수의 최소화자 사이를 연결하는 일반적인 渐近 원리를 수립하기 위해.
• 닫힌 볼록집합 위의 투영에 대해 De Pierro의 추측을 증명하고, 이전 결과의 애매한 부분공간에서 더 넓은 클래스의 볼록집합으로 확장하기 위해.
• 근처 순환의 평균 연산자의 고정점으로의 약한 또는 강한 수렴이 발생하는 조건을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 반복 방법의 일반화로서, $ \nu \to 0^+ $ 일 때, $ R^\nu = (\text{Id} + \nu(T_m - \text{Id})) \bigcirc \cdots \bigcirc (\text{Id} + \nu(T_1 - \text{Id})) $ 로 정의되는 과도하게 유예된 합성 $ R^\nu $ 를 도입한다.
• 주기적인 과도하게 유예된 반복 $ y_{k\nu}^\nu $ 가 생성하는 수열의 약한 근처 순환 $ (x_i^\nu) $ 를 분석하여, 연립 고정점 방정식의 해로 수렴함을 보인다.
• 힐버트 공간에서 비확장 연산자 이론과 단조 연산자 분할 이론을 활용하여, 해석기구와 투영의 성질을 이용한다.
• 정규성 조건 $ \max_i d_{E_i}(y_k) \to 0 \Rightarrow d_E(y_k) \to 0 $ 으로 정의된 부분공간 $ (E_i) $ 의 정규성 개념을 사용하여 강한 수렴을 보장한다.
• 문제를 $ y_0 + E^\bot $ 의 부분공간으로 축소하고, 수축 성질을 적용하여 수렴성을 증명한다. 여기서 $ E = \bigcap E_i $ 이다.
• 관련 애매한 부분공간에서 평균 연산자 $ T = \frac{1}{m}\sum T_i $ 와 과도하게 유예된 합성 $ R^\nu $ 의 수축 성질을 이용하여 수렴성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비확장 연산자의 과도하게 유예된 합성의 고정점과 그 평균의 고정점 사이에 관계가 존재하는가?
• RQ2 De Pierro의 추측—즉, 과도하게 유예된 순환 투영이 최소제곱 해로 수렴한다는 추측—은 애매한 부분공간을 초월하여 일반적인 닫힌 볼록집합에 대해 성립하는가?
• RQ3 과도하게 유예된 반복의 근처 순환이 평균 제곱거리의 최소화자로 강한 수렴을 보이는 조건은 무엇인가?
• RQ4 다양한 비확장 연산자 클래스에 걸쳐 과도하게 유예된 합성의 渐近적 행동을 균일하게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 닫힌 볼록집합 $ C_i $ 위의 투영에 대해, 과도하게 유예된 반복의 근처 순환 $ (x_i^\nu) $ 는 $ \nu \to 0^+ $ 일 때, $ \overline{x} = P_S y_0 $ 로 약한 수렴을 보이며, 여기서 $ S $ 는 $ \Phi(x) = \frac{1}{2m}\sum d_{C_i}^2(x) $ 의 최소화자 집합이다.
• 정규성 조건이 만족될 경우, $ x_i^\nu $ 의 $ \overline{x} $ 로의 수렴은 약한 수렴을 넘어서 강한 수렴이 된다.
• 결과는 애매한 부분공간 위의 투영에 대해 De Pierro의 추측을 확인하며, 유계인 $ B_i $ 와 닫힌 부분공간 $ E_i $ 로 구성된 비유계 볼록 실린더 $ B_i + E_i $ 로도 확장된다.
• 평균 연산자 $ T $ 의 고정점 집합은 $ \Phi $ 의 최소화자 집합과 일치하며, 이 집합은 애매한 집합이다: $ S = z + E $, 여기서 $ E = \bigcap E_i $ 이다.
• 조건 $ \|L \circ P_{E^\bot}\| < 1 $ 하에서, $ y_0 + E^\bot $ 의 애매한 부분공간에서 수축 성질을 이용하여 $ x_i^\nu $ 가 $ \overline{x} $ 로 수렴함을 증명한다. 여기서 $ L = \frac{1}{m}\sum P_{E_i} $ 이다.
• 결과적으로, [7]의 주요 결과에 대한 별도의 증명이 코로나리 3.9로부터 유도되며, $ (E_i) $ 의 정규성이 존재함과 동시에 순환의 존재성과 최소제곱 해로의 수렴성을 모두 유도함을 보여준다.