[논문 리뷰] Asymptotic behavior of multiscale stochastic partial differential equations

Michael Röckner, Longjie Xie외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 28.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 특이 계수를 가진 느린-빠른 스토하스틱 편미분방정식에 대해 평균화 원리와 정규편차를 수립한다. 힐버트 공간에서의 포아송 방정식을 사용하여, 느린 성분이 평균화된 방정식으로 강수렴함을 증명하고, 정규화된 변동이 옴슈타인-울렌벡 과정으로 약수렴함을 보이며, 이에 따른 수렴 속도는 빠른 성분의 정(regularity)과 무관하다.

ABSTRACT

In this paper, we study the asymptotic behavior of a semi-linear slow-fast stochastic partial differential equation with singular coefficients. Using the Poisson equation in Hilbert space, we first establish the strong convergence in the averaging principe, which can be viewed as a functional law of large numbers. Then we study the stochastic fluctuations between the original system and its averaged equation. We show that the normalized difference converges weakly to an Ornstein-Uhlenbeck type process, which can be viewed as a functional central limit theorem. Furthermore, rates of convergence both for the strong convergence and the normal deviation are obtained, and these convergence are shown not to depend on the regularity of the coefficients in the equation for the fast variable, which coincides with the intuition, since in the limit systems the fast component has been totally averaged or homogenized out.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간에서 특이 계수를 가진 비선형성의 느린-빠른 SPDE의 점근적 행동을 분석한다.
• 느린 성분이 평균화된 극한으로 강수렴함을 수립하며, 이를 함수적 대수의 법칙으로 간주한다.
• 평균화된 방정식 주위의 확률적 변동을 함수적 중심극한정리로 특성화한다.
• 느린 성분의 강수렴과 정규편차에 대해, 빠른 성분의 계수의 정(regularity)과 무관한 명시적 수렴 속도를 유도한다.

제안 방법

• 시간 척도를 분리하는 작은 매개수 $\varepsilon$를 가진 힐버트 공간 $H_1 \times H_2$에서의 느린-빠른 SPDE를 수립한다.
• 평균화 원리를 위한 보정 함수를 구성하기 위해 힐버트 공간에서의 포아송 방정식을 적용한다.
• 무한차원 SPDE를 다루기 위해 갈레르킨 근사법을 사용하고, 모멘트 추정을 수립한다.
• normalized deviation 과정을 분석하기 위해 코모고로프 방정식과 이토의 공식을 활용한다.
• 분수 스토켈레프 노름과 확률적 적분 경계를 사용하여 느린 성분과 빠른 성분의 모멘트 추정을 도출한다.
• 버크홀더-데이비스-건디 부등식과 반군의 정규성 추정을 적용하여 소음항과 변동항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\varepsilon \to 0$일 때, 다스케일 SPDE의 느린 성분이 평균화된 방정식으로 강수렴하는가?
• RQ2 특이 계수가 존재하는 상황에서 강수렴 원리의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 원래 시스템과 평균화된 시스템 간의 정규화된 변동이 약수렴하여 어떤 확률과정으로 수렴하는가?
• RQ4 수렴 속도는 빠른 성분의 계수의 정(regularity)과 무관하게 유계로 유지될 수 있는가?
• RQ5 변동 과정의 점근적 행동은 어떻게 되며, 어떻게 특성화되는가?

주요 결과

• 모든 $\gamma \in (0,1/2)$에 대해, $\varepsilon \to 0$일 때 느린 성분 $X_t^\varepsilon$는 $L^q(\Omega)$-의미에서 평균화된 해 $\bar{X}_t$로 강수렴하며, 수렴 속도는 $O(\varepsilon^{\gamma})$이다.
• 정규화된 차이 $\varepsilon^{-1/2}(X_t^\varepsilon - \bar{X}_t)$는 옴슈타인-울렌벡 과정으로 약수렴하며, 이는 함수적 중심극한정리의 수립을 의미한다.
• 강수렴 원리의 수렴 속도는 $O(\varepsilon^{\gamma})$이며, 빠른 방정식의 계수의 정(regularity)과 무관하다.
• 모멘트 추정을 통해 $X_t^\varepsilon$와 $\bar{X}_t$에 대해 $\mathbb{E}\|AX_t^\varepsilon\|_1^q \leq C_{\theta,\gamma,q,T}(t^{\theta-1} + \varepsilon^{-\gamma})(1 + \|x\|_{(-A)^\theta}^2 + \|y\|_2^{2p})$를 도출하였다.
• 평균화된 방정식은 $H_1$에서 유일한 온화한 해를 가지며, 그 정(regularity)은 생성자 $A$의 분수거듭제곱을 통해 제어된다.
• 변동 과정은 $O(\varepsilon^{\gamma/2})$ 정도의 모멘트 유계를 만족하며, 중심극한정리 스케일과 일치한다.