[논문 리뷰] Asymptotic behavior of orthogonal polynomials without the Carleman condition

D. R. Yafaev|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 24.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 카르레만 조건 $ \sum a_n^{-1} = \infty $ 가 위반되는 경우, 즉 $ \sum a_n^{-1} < \infty $ 일 때, 자코비 행렬과 관련된 직교 다항식 $ P_n(z) $ 의 游근 공식을 수립한다. $ -b_n / (2\sqrt{a_{n-1}a_n}) \to \beta_\infty $ 이고 $ |\beta_\infty| \neq 1 $ 라는 조건 하에, 고전적 카르레만 케이스와는 크게 다른 점성 구조를 보인다: $ |\beta_\infty| < 1 $ 일 경우 위상은 $ \sum \arccos \beta_m $ 에 의존하고, $ |\beta_\infty| > 1 $ 일 경우는 $ \sum \operatorname{arccosh} |\beta_m| $ 를 통해 지수적 성장을 보인다. 이러한 결과들은 최소 자코비 연산자의 본질적 자기수반성에 필요한 필요충분조건을 도출한다.

ABSTRACT

Our goal is to find an asymptotic behavior as $n\ o\\infty$ of orthogonal polynomials $P_{n}(z)$ defined by the Jacobi recurrence coefficients $a_{n}, b_{n}$. We suppose that the off-diagonal coefficients $a_{n}$ grow so rapidly that the series $\\sum a_{n}^{-1}$ converges, that is, the Carleman condition is violated. With respect to diagonal coefficients $b_{n}$ we assume that $-b_{n} (a_{n}a_{n-1})^{-1/2}\ o 2\\beta_{\\infty}$ for some $\\beta_{\\infty}\ eq \\pm 1$. The asymptotic formulas obtained for $P_{n}(z)$ are quite different from the case $\\sum a_{n}^{-1}=\\infty$ when the Carleman condition is satisfied. In particular, if $\\sum a_{n}^{-1}&lt;\\infty$, then the phase factors in these formulas do not depend on the spectral parameter $z\\in{\\Bbb C}$. The asymptotic formulas obtained in the cases $|\\beta_{\\infty}|&lt;1 $ and $|\\beta_{\\infty}|&gt;1 $ are also qualitatively different from each other. As an application of these results, we find necessary and sufficient conditions for the essential self-adjointness of the corresponding minimal Jacobi operator.

연구 동기 및 목표

• 카르레만 조건 $ \sum a_n^{-1} = \infty $ 가 실패할 때, 즉 $ \sum a_n^{-1} < \infty $ 일 때, 자코비 재귀 계수 $ a_n, b_n $ 를 갖는 직교 다항식 $ P_n(z) $ 의 점근적 행동을 분석하기.
• 카르레만 이외의 영역인 $ \sum a_n^{-1} < \infty $ 에서 $ P_n(z) $ 의 명시적 점근 공식을 유도하며, 특히 $ |\beta_\infty| < 1 $ 와 $ |\beta_\infty| > 1 $ 의 경우를 구분한다. 여기서 $ \beta_\infty = \lim -b_n / (2\sqrt{a_{n-1}a_n}) $ 이다.
• 카르레만 조건이 실패한 상황에서 최소 자코비 연산자의 본질적 자기수반성에 필요한 필요충분조건을 규명하기.

제안 방법

• 자코비 재귀식의 해를 $ 2\times 2 $ 행렬의 곱으로 표현하기 위해 전달 행렬 방법을 사용한다.
• 자코비 차분방정식 $ a_{n-1}F_{n-1} + b_n F_n + a_n F_{n+1} = zF_n $ 의 해의 점근적 행동을 분석하며, $ \beta_\infty $ 에 따른 경우를 구분한다.
• $ |\beta_\infty| < 1 $ 인 경우 위상 함수 $ \phi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \arccos \beta_m $ 과 $ |\beta_\infty| > 1 $ 인 경우 $ \varphi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \operatorname{arccosh} |\beta_m| $ 를 도입하여 진동 및 지수적 성장 행동을 기록한다.
• $ \ell^1({\mathbb{Z}}_+) $ 에서의 점근 급수와 잔여항 추정을 통해 조스트 유형 해를 구성하며, 해석성 및 감쇠/성장 성질을 보장한다.
• 스펙트럼 이론을 적용하여 $ P_n(z) $ 의 점근적 행동을 자코비 연산자의 리제산트와 스펙트럼 측도에 연결한다.
• 네바린나의 공식을 활용하여 리제산트를 직교 다항식과 연결하고, $ |\beta_\infty| < 1 $ 경우의 스펙트럼 이산성에 대해 추론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카르레만 조건 $ \sum a_n^{-1} = \infty $ 가 위반될 때, 즉 $ \sum a_n^{-1} < \infty $ 일 때, 직교 다항식 $ P_n(z) $ 의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 특히 $ \ell^2 $-적분 가능성과 진동 행동 측면에서, 카르레만 이외의 영역에서 자코비 차분방정식의 해 공간의 구조는 어떠한가?
• RQ3 점근적 행동이 $ |\beta_\infty| < 1 $ 와 $ |\beta_\infty| > 1 $ 의 경우 사이에서 어떻게 질적으로 다를까? 여기서 $ \beta_\infty = \lim -b_n / (2\sqrt{a_{n-1}a_n}) $ 이다.
• RQ4 카르레만 조건이 실패할 경우, 최소 자코비 연산자의 본질적 자기수반성에 필요한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ5 스펙트럼 성질—특히 스펙트럼의 성격과 리제산트의 행동—은 카르레만 케이스와 비카르레만 케이스 사이에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• $ |\beta_\infty| < 1 $ 인 경우, 자코비 방정식의 모든 해 $ F_n(z) $ 는 $ n \to \infty $ 일 때 $ F_n(z) = a_n^{-1/2} \big( k_+ e^{-i\phi_n} + k_- e^{i\phi_n} + o(1) \big) $ 를 만족하며, 여기서 $ \phi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \arccos \beta_m $ 이고, 모든 해는 진폭 인자 $ a_n^{-1/2} $ 덕분에 $ \ell^2({\mathbb{Z}}_+) $ 에 속한다.
• $ |\beta_\infty| > 1 $ 인 경우, 직교 다항식은 $ P_n(z) = \mathsf{k}(z) a_n^{-1/2} (\operatorname{sgn} \beta_\infty)^n e^{\varphi_n} (1 + o(1)) $ 를 만족하며, 여기서 $ \varphi_n = \sum_{m=0}^{n-1} \operatorname{arccosh} |\beta_m| $ 이다. 이는 진폭의 지수적 성장을 의미한다.
• 점근 공식은 위상에서 스펙트럼 매개변수 $ z \in \mathbb{C} $ 와 무관하게 성립하므로, 진동 또는 지수적 성장의 구조는 $ z $ 에 관계없이 일관되며, 오직 계수 $ k_\pm(z) $, $ \mathsf{k}(z) $ 만이 $ z $ 에 따라 달라진다.
• $ |\beta_\infty| > 1 $ 인 경우, 조스트 해 $ f_n(z) $ 는 정칙 함수이며 $ e^{-\varphi_n - z\psi_n} $ 를 따라 감쇠하므로, 자코비 연산자의 스펙트럼은 이산적임을 의미한다.
• 자코비 연산자의 리제산트는 분모 $ \Omega(z) $ 에 의해 결정되며, 이는 고유값에서만 0이 된다. $ |\beta_\infty| < 1 $ 인 경우 모든 자기수반 확장에서 스펙트럼 측도는 이산적이다.
• 최소 자코비 연산자는 $ \sum_{n=0}^\infty \big| \frac{b_n}{a_n} \big| < \infty $ 이면 본질적으로 자기수반이며, 이는 카르레만 이외의 영역에서 필요충분 조건으로 도출된 조건이다.