[논문 리뷰] Asymptotic behavior of subfunctions of the stationary Schrodinger operator

B. Ya. Levin, Alexander Kheyfits|arXiv (Cornell University)|2002. 11. 20.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정적 슈뢰딩거 연산자 $ L_c = -\Delta + c(x) $의 하위함수에 대한 渐近적 행동 결과를 수립하며, 고전적인 정리들인 프라그멘-린델뢰프, 블라시케, 하이먼-아자린을 $ c $-하향함수로 일반화한다. 주요 기여는 잠재력 $ c(x) $를 포함하는 반경 방향 상미분방정식의 해에 의해 결정되는 정확한 성장률을 규명한 것이다. 이는 $ |x|^2 c(x) \to \infty $일 때 지수적 성장이 발생함을 보여주며, 라플라스 연산자 경우의 거듭제곱 법칙 성장과 대조된다.

ABSTRACT

Subharmonic functions associated with the stationary Schrodinger operator are its weak subsolutions under appropriate assumptions on the potential of the operator. We prove for these functions analogs of several classical results on analytic and subharmonic functions, such as the Phragmen-Lindelof theorem with the precise growth rate, the Blaschke theorem on bounded analytic functions, the Carleman formula, the Hayman-Azarin theorem on asymptotic behavior of special subharmonic functions in many-dimensional cones.

연구 동기 및 목표

• 정적 슈뢰딩거 연산자 $ L_c = -\Delta + c(x) $의 $ c $-하향함수에 대해 해석적 및 하향함수에 대한 고전 정리들을 확장한다.
• 일반 잠재력 조건 하에서 $ n $-차원 锥 내의 $ c $-하향함수의 정확한 渐近적 성장률을 규명한다.
• Riesz 측도와 반경 방향 상미분방정식의 특수해를 사용하여 유계 해석함수에 대한 블라시케 정리를 $ c $-하향함수로 일반화한다.
• 하향함수의 锥 내 행동에 대한 하이먼-아자린 정리를 $ c $-하향함수로 확장하기 위해 이차형 급수와 그린 함수 추정을 사용한다.

제안 방법

• 잠재력 $ c(x) $의 반경 방향 하한 $ q $를 고려한 상미분방정식 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda_0 r^{-2} + q(r))y = 0 $의 해를 이용해 $ n $-차원 锥 내의 $ c $-하향함수에 대한 프라그멘-린델뢰프 정리의 유사체를 유도한다.
• 그린 함수의 이차형 급수 표현과 추정을 사용하여 $ L_q $의 그린 함수를 이용해 하이먼-아자린 정리를 $ c $-하향함수로 일반화한다.
• 일반화된 카르레만 공식을 적용해 $ c $-하향함수의 Riesz 측도와 성장률을 연결함으로써 블라시케 정리의 확장을 가능하게 한다.
• 관련된 방정식의 해를 변환하여 증가 및 감소하는 해 $ V(r) $와 $ W(r) $를 구성함으로써, 정규성 조건 하에서 존재성과 연속성을 보장한다.
• 단위 구면에서의 고유함수 전개와 라플라스-베르트라미 연산자의 스펙트럼 이론을 사용해 锥 영역 내의 해를 분해한다.
• 조건들 $ \int^\infty t^{-1}(t^2 q(t) - k)^2 dt < \infty $ 또는 $ \int^\infty r^{-2} \sqrt{q(r)} dr < \infty $ 하에서 상미분방정식 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda r^{-2} + q(r))y = 0 $의 해의 渐近적 분석을 수행하며, JWKB 유사법을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재력 $ c(x) $가 $ |x|^2 c(x) \to \infty $를 만족할 때, $ n $-차원 锥 내의 $ c $-하향함수의 정확한 渐近적 성장률은 무엇인가?
• RQ2 Riesz 측도와 반경 방향 상미분방정식의 해를 사용해, 유계 해석함수에 대한 블라시케 정리를 $ c $-하향함수로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 반경 방향 상미분방정식 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda r^{-2} + q(r))y = 0 $의 해 $ V(r) $가 임의의 거듭제곱보다 더 빠르게 증가하기 위한 조건은 무엇이며, 이 경우 어떤 渐近적 공식이 성립하는가?
• RQ4 이차형 급수와 그린 함수 추정을 사용해, 하향함수의 锥 내 각도 극한 존재성에 대한 하이먼-아자린 정리를 $ c $-하향함수로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 잠재력 $ q(r) $에 어떤 조건이 성립할 경우, 반경 방향 상미분방정식의 해 $ V(r) $와 $ W(r) $가 $ r \to \infty $에서 JWKB 유사법의 渐近 전개를 가질 수 있는가?

주요 결과

• $ |x|^2 c(x) \to \infty $일 때, 경계에서 유계인 锥 내의 $ c $-하향함수의 최소 성장률은 거듭제곱 법칙이 아닌 지수적 성장이며, $ \mathbb{R}^n $ 내의 $ c $-조화함수에 대한 리우빌 정리와 동일한 성장률을 가진다.
• 반경 방향 상미분방정식 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda_0 r^{-2} + q(r))y = 0 $의 증가하는 해 $ V(r) $에 의해 결정되는 정확한 성장률을 갖는다. 여기서 $ \lambda_0 $는 구면 영역에서 라플라스-베르트라미 연산자의 첫 번째 고유값이다.
• 적분 $ \int_{K^D_1} V(r)\varphi_0(\theta) d\mu(r,\theta) $와 $ \int_{K^D \setminus K^D_1} W(r)\varphi_0(\theta) d\mu(r,\theta) $가 유한할 경우, 일반화된 블라시케 정리가 성립한다. 여기서 $ V $와 $ W $는 반경 방향 상미분방정식의 증가 및 감소하는 해이다.
• 조건 $ \int^\infty t^{-1}(t^2 q(t) - k)^2 dt < \infty $를 만족할 경우, 해 $ V(r) $는 $ r \to \infty $일 때 다음의 渐近적 형태를 가진다: $ V(r) = b r^{(2-n+\chi_k)/2} \exp\left( \frac{1}{\chi_k} \int^r_1 (t^2 q(t) - k) \frac{dt}{t} \right) (1 + \overline{\overline{o}}(1)) $, 여기서 $ \chi_k^2 = (n-2)^2 + 4(\lambda + k) $이다.
• $ \lim_{r\to\infty} r^2 q(r) = \infty $일 경우, 해 $ V(r) $는 임의의 거듭제곱보다 더 빠르게 증가하며, 정규성 조건 하에서 JWKB 유사법 공식 $ V(r) = b r^{(1-n)/2} q^{-1/4}(r) \exp\left( \int^r_1 q^{1/2}(t) dt \right) (1 + \overline{\overline{o}}(1)) $이 성립한다.
• 이차형 급수와 $ L_q $의 그린 함수 추정을 사용함으로써 하이먼-아자린 정리는 $ n $-차원 锥 내의 $ c $-하향함수로 일반화되었으며, 적절한 성장 제약 조건 하에서 각도 극한 $ \lim_{r\to\infty} r^{-1} u(re^{i\theta}) $가 존재함을 보였다.