[논문 리뷰] Asymptotic behavior of the Laplacian quasi-maximum likelihood estimator of affine causal processes

Jean‐Marc Bardet, Yakoub Boularouk외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 02.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 22인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 ARMA, GARCH, APARCH 및 그 융합형을 포함한 광범위한 계수적 인과 시간열 모델에 대해 라플라시안 준최대우도추정량(Laplacian Quasi-Maximum Likelihood Estimator, QMLE)의 강한 일致성과 점근적 정규성을 확립한다. 최소제곱 대신 최소절대편차 대비를 최소화함으로써 추정량은 무거운 尾를 가진 잔여항과 이상치에 대해 강건해지며, 일致성에는 제1차 모멘트(r=1)만 필요하고, 점근적 정규성에는 제2차 모멘트(r=2)만 요구한다. 이는 고전적 가우시안 QMLE가 추론을 위해 제4차 모멘트를 요구하는 것에 비해 향상된 결과이다.

ABSTRACT

We prove the consistency and asymptotic normality of the Laplacian Quasi-Maximum Likelihood Estimator (QMLE) for a general class of causal time series including ARMA, AR($\\infty$), GARCH, ARCH($\\infty$), ARMA-GARCH, APARCH, ARMA-APARCH,..., processes. We notably exhibit the advantages (moment order and robustness) of this estimator compared to the classical Gaussian QMLE. Numerical simulations confirms the accuracy of this estimator.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 계수적 인과 시간열 모델(ARMA, GARCH 등)에 대해 라플라시안 QMLE의 점근적 성질을 확립하는 것.
• 라플라시안 QMLE가 가우시안 QMLE(r=2)보다 더 약한 조건(r=1)에서 강한 일치성을 확보하고, r=2 조건에서 점근적 정규성을 보임을 보여주는 것.
• 라플라시안 QMLE가 고전적 가우시안 QMLE보다 더 무거운 尾를 가진 잔여항과 이상치에 대해 더 강건함을 보여주는 것.
• 인과 스토케스틱 과정에 대해 LAD 및 비가우시안 QMLE 추정량의 기존 결과들을 하나의 일반적 프레임워크로 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 논문은 시간열을 식 (1.1)의 스토케스틱 반복방정식의 인과적 해로 모델링하며, 오차항 과정은 대칭적이며 비가우시안일 수 있는 i.i.d. 분포를 가진다.
• 라플라시안 QMLE는 고전적 최소제곱 대비가 아닌 최소절대편차 대비를 최소화하여 정의된다: ∑ₜ Mₜ⁻¹ |Xₜ − fₜ|.
• 이론적 분석은 Doukhan과 Wintenberger(2007) 및 Bardet와 Wintenberger(2009)에서 수립한 인과적 stationary 과정의 프레임워크를 기반으로 하며, 에르고딕성과 믹싱 조건을 보장한다.
• 조건부 평균 및 분산 함수에 대한 규칙성 조건 하에서, 마팅게일 차분 중심극한정리와 균일 적분 가능성 논증을 통해 일치성과 점근적 정규성을 증명한다.
• ARMA-GARCH 및 APARCH 모델에서 다항식 표현의 유일성에 기반해 매개변수 식별성을 확보함으로써 매개변수 추정 가능성 보장.
• 수치 시뮬레이션을 통해 다양한 분포(가우시안, 라플라스, 오염된 혼합분포 포함)에서 라플라시안 QMLE와 가우시안 QMLE의 유한표본 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라플라시안 QMLE는 계수적 인과 과정에서 가우시안 QMLE보다 더 약한 모멘트 조건(r=1) 하에서도 강한 일치성을 확보하는가?
• RQ2 라플라시안 QMLE는 제4차 모멘트가 아닌 제2차 모멘트 조건(r=2) 하에서도 점근적 정규성을 보이는가?
• RQ3 무거운 尾를 가진 잔여항 또는 이상치가 존재할 경우, 라플라시안 QMLE는 가우시안 QMLE에 비해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 라플라시안 QMLE는 ARMA, GARCH, APARCH 및 그 조합 등 다양한 모델에 대해 하나의 이론적 프레임워크로 통합적으로 적용 가능한가?

주요 결과

• 라플라시안 QMLE는 E[|ζ₀|] < ∞ (r=1) 조건 하에서 강한 일치성을 보이며, 이는 가우시안 QMLE가 일치성을 확보하기 위해 r≥2 가 필요로 하는 것에 비해 상당한 개선이다.
• 라플라시안 QMLE의 점근적 정규성은 E[|ζ₀|²] < ∞ (r=2) 조건 하에서 성립하며, 가우시안 QMLE는 E[|ζ₀|⁴] < ∞ (r=4) 가 필요로 하므로, 무거운 尾 데이터에 더 강건한 것으로 나타났다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 비가우시안 잔여항, 특히 라플라스 또는 오염된 가우시안 분포 하에서 라플라시안 QMLE가 추정 정확도 측면에서 가우시안 QMLE를 능가함을 확인하였다.
• 오염된 가우시안 분포를 모의한 혼합분포를 사용한 시뮬레이션을 통해 라플라시안 QMLE가 이상치에 대해 강건함을 입증하였다.
• 이 논문은 ARMA-GARCH, ARMA-APARCH, ARMA-ARCH(∞) 및 유사 과정들에 대해 라플라시안 QMLE에 대한 최초의 통합된 점근적 이론을 수립하였다.