[논문 리뷰] Asymptotic behaviour of first passage time distributions for Lévy processes

R. A. Doney, Víctor Rivero|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 안정 법칙의 영역에 속하는 레비 과정의 첫 번째 통과 시간 분포에 대해 날카운 점근적 추정을 수립하며, 연속적 통과와 비연속적 통과 유형을 구분한다. $\mathbb{P}_x$ 하에서 첫 번째 통과 시간의 밀도에 대한 국소 중심극한정리들을 도출하여, 점근적 행동이 안정성 지수 $\alpha$, 양성성 파라미터 $\rho$, 그리고 래더 높이 과정의 양의 드리프트 존재 여부에 따라 달라지며, 수렴 속도는 스케일링 함수 $c(t)$와 제한 안정 분포의 영점에서의 밀도에 연결됨.

ABSTRACT

Let $X$ be a real valued Lévy process that is in the domain of attraction of a stable law without centering with norming function $c.$ As an analogue of the random walk results in \cite{vw} and \cite{rad} we study the local behaviour of the distribution of the lifetime $ζ$ under the characteristic measure $\underline{n}$ of excursions away from 0 of the process $X$ reflected in its past infimum, and of the first passage time of $X$ below $0,$ $T_{0}=\inf \{t>0:X_{t}<0\},$ under $\mathbb{P}_{x}(\cdot),$ for $x>0,$ in two different regimes for $x,$ viz. $x=o(c(\cdot))$ and $x>D c(\cdot),$ for some $D>0.$ We sharpen our estimates by distinguishing between two types of path behaviour, viz. continuous passage at $T_{0}$ and discontinuous passage. In the way to prove our main results we establish some sharp local estimates for the entrance law of the excursion process associated to $X$ reflected in its past infimum.

연구 동기 및 목표

• 실수값 레비 과정이 안정 법칙의 영역에 속할 때, 음수로의 첫 번째 통과 시간 분포의 국소 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 첫 번째 통과 시간에서 연속적 통과와 비연속적 통과를 구분하기 위해, 이들의 경로 행동이 다른 분포적 성질을 유도하기 때문이다.
• 특히 $x = o(c(t))$ 및 $x > Dc(t)$ ($D > 0$)인 영역에서 $\mathbb{P}_x$ 하에서 첫 번째 통과 시간의 밀도에 대해 날카운 국소 중심극한정리를 수립하며, 특성 측도 $\underline{n}$ 하에서의 유행 기간에 대해서도 분석한다.
• 제한 안정 분포의 영점에서의 밀도와 스케일링 함수 $c(t)$를 포함하여, 첫 번째 통과 시간의 밀도에 대한 정확한 점근적 표현을 유도하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 변동 이론과 래더 과정 이론을 사용하여, 하행 래더 높이 과정 $H^*$ 및 관련 스케일 함수 $U^*$에 중점을 둔다.
• 경로 유형을 분리하기 위해, 연속적 통과($C_0$)와 비연속적 통과의 기여를 분해하며, $C_0 = \{X(T_0-) = 0\}$와 같은 사건을 사용한다.
• 분석은 과거 최소값에 대해 반사된 과정의 유행 과정의 입구 법칙에 대한 날카운 국소 추정에 기반하며, 스케일링 함수 $c(t)$와 $\underline{n}(\zeta > t)$의 정규적으로 변화하는 행동을 활용한다.
• 핵심 추정은 래더 높이 분포의 밀도 $g^*$와, 유행 측도의 국소 행동을 캡처하는 함수 $\theta(s,y)$를 사용한다.
• 저자들은 타우버형 및 아벨형 정리를 적용하여, 인덱스 $-\overline{\rho}$로 정규적으로 변화하는 $\underline{n}(\zeta > t)$의 점근적 행동을 첫 번째 통과 시간 밀도와 연결한다.
• 이중 래더 과정의 기능적 극한정리를 적용하여, 특히 $\alpha\overline{\rho} < 1$ 및 $\alpha\overline{\rho} = 1$인 경우의 첫 번째 통과 시간 밀도의 점근적 행동을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 $t \to \infty$일 때, 안정 법칙의 영역에 속하는 레비 과정의 첫 번째 통과 시간 분포는 어떻게 점근적으로 행동하는가? 특히 $x = o(c(t))$ 및 $x > Dc(t)$인 경우에 대해.
• RQ2 첫 번째 통과 시간에서 경로 유형—연속적 통과와 비연속적 통과—이 $T_0$의 밀도 존재성과 형태에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 첫 번째 통과 시간 밀도의 점근적 행동은 제한 안정 분포의 영점에서의 밀도 $f(0)$와 스케일링 함수 $c(t)$에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 래더 높이 과정에 양의 드리프트($d^* > 0$)가 존재할 경우, 첫 번째 통과 시간 밀도의 정확한 점근적 행동은 어떻게 되며, $d^* = 0$인 경우와 어떻게 다를까?
• RQ5 $\alpha\overline{\rho} = 1$인 경우, 첫 번째 통과 시간 밀도의 정확한 점근적 형태는 무엇이며, 이는 상수 $k_6 k_7$와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 $X \in D(\alpha, \rho)$에서 $\alpha\overline{\rho} < 1$일 때, 첫 번째 통과 시간 밀도는 $t \mathbb{P}_x(T \in (t, t+\Delta]) \sim \Delta k_6 \tilde{h}_{x_t}(1)$를 만족하며, 여기서 $\tilde{h}_{x_t}(1)$는 시간 1에서의 제한 안정 분포의 밀도이다.
• 만약 $\alpha\overline{\rho} = 1$이면 점근적 행동은 $t \mathbb{P}_x(T \in (t, t+\Delta]) \sim \Delta k_6 k_7 \tilde{h}_{x_t}(1)$이며, $d^* > 0$이면 $k_6 k_7 = p = d^*/(d^* + L(\infty))$이고, $d^* = 0$이면 $k_6 k_7 = 1$이다.
• 첫 번째 통과 시간의 밀도는 존재하며, 비연속적 통과의 경우 $k_6 \tilde{h}_{x_t}(1)$에 점근적으로 동치되며, 연속적 통과의 경우 $d^* > 0$일 때는 특이적일 수 있으므로 별도로 다뤄야 한다.
• 측도 $\underline{n}$ 하에서 유행 기간 $\zeta$의 점근적 행동은 $\underline{n}(\zeta > t) \in RV(-\overline{\rho})$를 만족하며, 반사된 과정의 입구 법칙에 대한 날카운 추정을 통해 국소 행동이 도출된다.
• $k_6$는 $k_6 \sim C \cdot \frac{U^*(c(t))}{c(t) \underline{n}(\zeta > t)}$를 만족하며, 여기서 $U^*$는 래더 높이 과정의 스케일 함수이다.
• 논문은 $\Pi((-∞, 0)) > 0$이면 $t \to \infty$일 때 $th_x(t) \to p \tilde{h}_{x_t}(1)$가 성립하며, $x_t \in [D^{-1}, D]$에서 균일하게 성립함을 확인하여, 첫 번째 통과 시간 밀도에 대한 기능적 극한정리를 수립한다.