[논문 리뷰] Asymptotic behaviour of randomised fractional volatility models

Blanka Horvath, Antoine Jacquier외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 62인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $ H \in (0,1) $를 가진 분수 Browian 운동에 의해 구동되는 랜덤화된 분수 변동성 모델의 渐近적 행동을 조사하며, 소규모 시간 및 꼬리 행동을 분석하기 위해 대규모 변동 원리를 확장한다. 주요 기여는 랜덤 초깃값 변동성의 꼬리 분포가 임의의 변동성의 폭발 속도에 어떻게 영향을 미치는지 정량적으로 규명한 것이다. 특히, 거친 변동성 모델에서 중요한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of a class of small-noise diffusions driven by fractional Brownian motion, with random starting points. Different scalings allow for different asymptotic properties of the process (small-time and tail behaviours in particular). In order to do so, we extend some results on sample path large deviations for such diffusions. As an application, we show how these results characterise the small-time and tail estimates of the implied volatility for rough volatility models, recently proposed in mathematical finance.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 초깃값 변동성이 거친 확률적 변동성 모델에서 임의의 변동성 역학에 미치는 영향을 이해하기 위해.
• 랜덤 초깃값 조건을 가진 분수 Browian 운동에 의해 구동되는 확산 과정에 대해 샘플 경로 대규모 변동 이론을 확장하기 위해.
• 최근 시장 데이터에 관련된 $ H \in (0,1/2) $인 모델에서의 소규모 시간 및 무거운 꼬리 행동을 특성화하기 위해.
• 초깃값 변동성 분포의 꼬리 행동과 짧은 만기 시점에서의 임의의 변동성 스마일의 기울기 사이의 이론적 연결 고리를 확립하기 위해.
• 거친 변동성 설정에서 포워드 스타트 옵션 및 변동성 표면 모델링을 위한 엄밀한 渐진적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 소음이 작은 확산 과정에 대해 Freidlin-Wentzell 유형의 대규모 변동 원리를 분수 Browian 운동에 의해 구동되며 랜덤 초깃값 상태를 가진 경우로 확장한다.
• 경로 기반 스케일링 기법과 수축 원칙을 적용하여 랜덤 초깃값 분포 $ \zeta $를 가진 과정 $ X^{\varepsilon, \zeta} $에 대한 대규모 변동 원리를 유도한다.
• 분수 SDE와 관련된 제어 문제로부터 유도된 비용 함수 $ I $를 사용하여 희귀 사건의 확률을 정량화한다.
• Millet, Nualart, 및 Sanz (2005)의 랜덤 환경 확산에 대한 결과를 활용하여 가정 3.4 하에서 대규모 변동 원리의 타당성을 정당화한다.
• 스케일링 근사 $ \varepsilon^{2b}X_t \sim \text{LDP}(\varepsilon^{2b}, \widetilde{\Lambda}) $를 통해 꼬리 및 소규모 시간 행동을 분석한다.
• 수축 원칙과 지수적 비용 함수를 통한 확률의 상한 및 하한 근사에 기반하여 渐진적 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초깃값 변동성 분포의 꼬리 행동은 거친 변동성 모델에서 임의의 변동성의 폭발 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 변동성 과정이 $ H \in (0,1) $인 분수 Browian 운동에 의해 구동될 경우, 임의의 변동성의 소규모 시간 渐진적 행동은 어떠한가?
• RQ3 랜덤 초깃값 조건과 분수 노이즈를 가진 확산 과정에 대해 대규모 변동 원리를 확장할 수 있는가?
• RQ4 고정된 초깃값보다 랜덤화된 초깃값 변동성이 짧은 기간의 기울어진 임의의 변동성 스마일을 더 잘 모델링하는 데 기여하는가?
• RQ5 초깃값 변동성 분포의 스케일링과 포워드 스타트 옵션 가격의 渐진적 행동 사이의 정확한 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 소규모 만기 시점에서의 임의의 변동성 폭발 속도는 초깃값 변동성 분포의 꼬리 두께에 의해 직접적으로 조절되며, 더 두꺼운 꼬리는 더 빠른 폭발을 초래한다.
• $ H \in (0,1/2) $인 경우, 임의의 변동성의 소규모 시간 渐진적 행동은 속도 $ \varepsilon^{2} $를 가진 대규모 변동 원리에 의해 지배되며, 이는 꼬리 확률에서 $ t^{2H+b} $ 스케일링을 초래한다.
• 초깃값 변동성이 두꺼운 꼬리 분포를 가질 경우, 임의의 변동성 표면의 스마일 기울기가 더 기울어지며, 이는 기울어진 스마일을 생성하기 위해 기초 자산 과정의 점프가 반드시 필요하지 않음을 확인한다.
• 과정 $ X^{\varepsilon, \zeta} $에 대한 대규모 변동 원리는 속도 $ \varepsilon^2 $와 좋은 비용 함수 $ I $를 가진다. 이는 분수 SDE와 관련된 제어 문제로부터 유도된다.
• $ \varepsilon \to 0 $의 극한에서 꼬리 확률 $ \mathbb{P}(X_t \geq k) $는 $ -\inf_{y \geq 1} \widetilde{\Lambda}(\phi) $의 비용률로 지수적으로 감소하며, 여기서 $ \widetilde{\Lambda} $는 스케일된 생성자 함수의 레지너드 변환이다.
• 결과는 랜덤화된 거친 변동성 모델이 포워드 스타트 옵션에 대해 일관된 이론적 프레임워크를 제공하며, 기대적으로 지속되는 기울어진 변동성 스마일을 설명할 수 있음을 확인한다.