[논문 리뷰] Asymptotic behaviour of the fractional Heston model

Hamza Guennoun, Antoine Jacquier외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $ H \in (0,1) $를 가진 분수 Browndian 운동으로 구동되는 분수 Heston 모델을 분석하며, 단기 및 장기 만기에서의 임의의 변동성의 점 渐차적 행동을 도출한다. $ H < 1/2 $일 경우, 단기 만기에서의 임의의 변동성은 점프 유사 행동을 보이며, 이는 고전적 모델이 변동성 미소의 급격한 단기 부분을 적합하지 못하는 데서 비롯되는 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider the fractional Heston model originally proposed by Comte, Coutin and Renault. Inspired by recent ground-breaking work on rough volatility, which showed that models with volatility driven by fractional Brownian motion with short memory allows for better calibration of the volatility surface and more robust estimation of time series of historical volatility, we provide a characterisation of the short- and long-maturity asymptotics of the implied volatility smile. Our analysis reveals that the short-memory property precisely provides a jump-type behaviour of the smile for short maturities, thereby fixing the well-known standard inability of classical stochastic volatility models to fit the short-end of the volatility smile.

연구 동기 및 목표

• 고전적 확률적 변동성 모델이 임의의 변동성 미소의 급격한 단기 부분을 캘리브레이션하지 못하는 데서 지속적으로 발생하는 실패를 해결하기 위해.
• 짧은 기억성을 가진 분수 Browndian 운동($ H < 1/2 $)이 시장에서 관측된 변동성 표면의 행동을 설명할 수 있는지 조사하기 위해.
• 분수 Heston 모델에서의 장기 및 단기 만기 점 渐차적 행동을 특성화하기 위해.
• 역사적 시계열 자료에서 장기 기억성이 나타나는 데도 불구하고 $ H \in (0,1/2) $가 변동성 표면에 더 잘 맞는다는 경험적 관찰에 대한 이론적 근거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 모델은 분산 과정에서 표준 Browndian 운동을 분수 Browndian 운동으로 대체함으로써 고전적 Heston 모델을 확장한다. 이때 허스트 매개수 $ H \in (0,1) $이다.
• 로그 주가의 특성함수를 닫힌 형태로 유도함으로써 옵션 가격과 임의의 변동성의 정확한 계산이 가능해진다.
• 꼬리 행동과 점 渐차적 임의의 변동성 분석을 위해 재스케일링된 로그 주가 과정에 대규모 변동 원리(Principles of Large Deviations)를 적용한다.
• Gärtner-Ellis 정리를 사용하여 비율 함수 $ \Lambda^* $를 도출하며, 이는 尾確率의 지수적 감소를 규명하고 임의의 변동성 점 渐차적 행동을 결정한다.
• 분석을 $ H \in (0,1/2) $ 및 $ H \in (1/2,1) $로 나누어 각각 단기 및 장기 만기 영역에서의 상이한 행동을 밝혀낸다.
• 다양한 스케일링 함수 $ f(t) $, 예를 들어 $ f(t) = t^{1+d/2} $에 대해 옵션 가격과 그 로그 확률의 수렴 결과를 확립함으로써 임의의 변동성의 극한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H < 1/2 일 때, 만기가 0에 수렴함에 따라 분수 Heston 모델에서의 임의의 변동성은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 분수 Heston 모델에서 장기 만기에서의 임의의 변동성의 점 渐차적 행동은 무엇이며, 특히 $ H > 1/2 $일 경우 어떻게 되는가?
• RQ3 역사적 시계열 자료는 장기 기억성을 시사하지만 왜 $ H \in (0,1/2) $로의 경험적 캘리브레이션은 변동성 표면에 더 잘 맞는가?
• RQ4 분수 Heston 모델은 실제로 시장 데이터에서 관측되는 단기 만기에서의 점프 유사 행동을 재현할 수 있는가?
• RQ5 허스트 매개수와 시간의 스케일링 간의 상호작용이 로그 주가 과정의 대규모 변동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $ H \in (0,1/2) $일 경우, 단기 만기에서의 임의의 변동성은 점프 유사 행동을 보이며, $ \lim_{t\uparrow\infty} t^{-d/4} \Sigma(x t^{1+d/2}) = \sqrt{2} \left( \sqrt{\Lambda_+^*(x)} + \sqrt{\Lambda_+^*(x) - x} \right) $로 표현되며, 이는 폭발적 행동을 시사한다.
• $ H \in (1/2,1) $일 경우, 장기 만기에서의 임의의 변동성은 엄밀히 양수인 상수로 수렴하며, 장기 기억성의 평균화 효과를 반영한다.
• 단기 만기에서 $ H < 1/2 $인 모델은 고전적 모델보다 더 급격한 임의의 변동성 미소를 생성하며, 이는 시장 데이터와 더 잘 일치한다.
• 재스케일링된 로그 주가 과정은 약한 수렴을 보이지만 경로별 수렴은 보이지 않으며, 이는 점프-확산 모델과 유사한 특성으로, 점프 유사 행동을 설명한다.
• 임의의 변동성의 점 渐차적 행동은 특성함수의 모멘트 생성 함수의 Fenchel-Legendre 변환 $ \Lambda^* $에 의해 결정되며, 이는 Gärtner-Ellis 정리를 통해 도출된다.
• 분석 결과, $ H \in (0,1/2) $인 분수 Heston 모델이 러프 변동성 모델의 경험적 성공성에 대한 이론적 근거를 제공함을 확인한다.