[논문 리뷰] Asymptotic Cohomology and Uniform Stability for Lattices in Semisimple Groups

Lev Glebsky, Alexander Lubotzky외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 힐버트 공간 위의 유니터리 표현에 대해 하위multiplicative 노름 하에서 고계수 격자에 대한 균일 안정성을 확립한다. 점 渐진(cohomology) 이론을 개발하여 안정성 장벽을 포착함으로써, 두 번째 점 渐진 코homology의 소멸이 균일 안정성을 암시함을 증명하며, 이는 아메니타블 군에 대한 카즈한의 결과와 $SL(n,\mathbb{Z})$ ($n>2$)에 대한 버거-오자와-톰의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

It is, by now, classical that lattices in higher rank semisimple groups have various rigidity properties. In this work, we add another such rigidity property to the list: uniform stability with respect to the family of unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces equipped with submultiplicative norms. Namely, we show that for (most) high-rank lattices, every finite-dimensional unitary "almost-representation" of $Γ$ is a small deformation of a (true) unitary representation. This extends a result of Kazhdan (1983) for amenable groups and of Burger-Ozawa-Thom (2013) for SL(n,Z) (for n>2). Towards this goal, we first build an elaborate cohomological theory capturing the obstruction to such stability, and show that the vanishing of second cohomology implies uniform stability in this setting. This cohomology can be roughly thought of as an asymptotic version of bounded cohomology, and sheds light on a question raised in Monod (2006) about a possible connection between vanishing of second bounded cohomology and Ulam stability.

연구 동기 및 목표

• 고계수 격자에 대한 새로운 강성 성질—균일 안정성—을 확립하기 위해.
• 아메니타블 군과 $SL(n,\mathbb{Z})$에 대한 기존의 욜람 안정성 결과를 일반 고계수 격자로 확장하기 위해.
• 균일 안정성의 장벽을 포착하는 '점 渐진 코homology'라는 새로운 코homological 프레임워크를 개발하기 위해.
• 유계 코hom로지, 점 渐진 코hom로지, 그리고 욜람 안정성 간의 관계를 명확히 하며, 특히 두 번째 코homology의 소멸 상황에서의 관계를 분석하기 위해.

제안 방법

• 안정성 장벽을 연구하기 위해, 유계 코hom로지의 점 渐진 변형으로서의 새로운 코homology 이론—'점 渐진 코homology'—을 도입하기 위해.
• 유한차원 유니터리 표현을 모델링하는 바나흐 $\Gamma$-모듈러의 가중치 $\mathcal{W}$에 대해 격자 $\Gamma$에 대한 점 渐진 코homology 군 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$를 정의하기 위해.
• 점 渐진 코homology 군 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$의 소멸이 유한차원 힐버트 공간 위의 유니터리 군에 대한 $\Gamma$의 균일 안정성을 암시함을 증명하기 위해.
• 점 渐진 코homology에서 유계 코hom로지 $\mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$로 가는 비교 사상(비교 맵)을 수립하여 새로운 이론이 잘 알려진 유계 코hom로지 불변량과 연결됨을 보여주기 위해.
• 고계수 격자에서의 유계 코hom로지의 소멸과 복합부분군의 구조를 이용하여, 이러한 군들에 대해 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) = 0$임을 보여주기 위해.
• 마르굴리의 수퍼강성과 산술성 원리를 활용하여 표현의 연구를 갈로아-틀리프트 및 유한 몫 표현으로 줄여, 코homological 제어를 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 점 渐진 코homology의 소멸은 고계수 단순군의 격자에 대해 균일 안정성을 암시하는가?
• RQ2 점 渐진 코homology는 어떤 방식으로 끝 유계 코hom로지와 욜람 안정성 사이의 다리 역할을 할 수 있는가? 특히, 유한차원 유니터리 표현의 맥락에서.
• RQ3 안정성 결과에 있어 성질 $G(\mathcal{Q}_1, \mathcal{Q}_2)$는 필수적인가, 아니면 증명의 기술적 부산물인가?
• RQ4 비교 맵 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) \to \mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$는 안정성 장벽을 얼마나 잘 포착하는가?
• RQ5 점 渐진 코homology 프레임워크는 비균일 격자 또는 비오르클리드 설정으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 고계수 격자 $\Gamma$에 대해 두 번째 점 渐진 코homology 군 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$가 소멸하며, 이는 균일 안정성을 암시한다.
• 유한차원 힐버트 공간 위의 유니터리 표현에 대해 하위multiplicative 노름 하에서 모든 고계수 격자 $\Gamma$에 대해 균일 안정성이 성립한다.
• $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$의 소멸은 균일 안정성에 충분하며, 아메니타블 군에 대한 카즈한의 결과를 일반화한다.
• 비교 맵 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) \to \mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$는 반드시 단사나 전사가 아니지만, 그 핵이 안정성 장벽을 포착한다.
• 고계수 단순 리군의 격자에 대해, 모든 쌍대 분리 가능한 바나흐 $\Gamma$-모듈러 $W$에 대해 $\mathrm{H}_b^2(\Gamma, W) = 0$이 성립하며, 이는 점 渐진 코homology와 잠재적인 연결 고리로 여겨진다.
• 이 프레임워크는 균일 안정성과 점별 안정성 간의 차이를 명확히 하며, 특히 $p = \infty$일 때 연산자 노름 하에서 점별 안정성이 실패하더라도 균일 안정성이 유지됨을 보여준다.