[논문 리뷰] Asymptotic Correlation Structure of Discounted Incurred But Not Reported Claims under Fractional Poisson Arrival Process

Eric C.K. Cheung, Landy Rabehasaina외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 12.

Probability and Risk Models참고 문헌 45인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분수 포isson 도착 과정을 기반으로 하여 할인된 미결제 보상 청구(Incurred But Not Reported, IBNR)의 渐近적 상관 구조를 도출한다. 재생 밀도를 기반으로 한 재귀적 공동모멘트 계산을 사용하며, 상관관계는 시간에 따라 거듭제곱 법칙으로 감쇠되며, 이 감쇠 속도는 분수 매개수 α와 지연 분포에 따라 달라진다. 이는 특정 매개수 영역에서 장거리 의존성을 드러낸다.

ABSTRACT

This paper studies the joint moments of a compound discounted renewal process observed at different times with each arrival removed from the system after a random delay. This process can be used to describe the aggregate (discounted) Incurred But Not Reported claims in insurance and also the total number of customers in an infinite server queue. It is shown that the joint moments can be obtained recursively in terms of the renewal density, from which the covariance and correlation structures are derived. In particular, the fractional Poisson process defined via the renewal approach is also considered. Furthermore, the asymptotic behaviour of covariance and correlation coefficient of the aforementioned quantities is analyzed as the time horizon goes to infinity. Special attention is paid to the cases of exponential and Pareto delays.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 보고 지연을 갖는 복합 할인 재생 과정을 사용하여 시간에 따른 할인된 IBNR 청구의 공동 행동을 모델링하기 위해.
• 분수 포isson 도착 과정 하에서 집합적 청구 과정의 공동 모멘트, 공분산, 상관 구조를 유도하기 위해.
• 시간 범위가 무한으로 갈수록 상관계수의 渐近적 행동을 분석하기 위해.
• 분수 포isson 매개수 α와 지연 분포(지수 또는 파레토)가 장기적 의존성 특성에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 중력 꼬리 간격 시간을 갖는 보험 및 큐잉 시스템에서 장거리 의존성 모델링을 위한 이론적 기초 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 청구가 랜덤 지연 후 제거되는 복합 할인 재생 과정을 사용하여 IBNR 청구 또는 무한 서버 큐 크기를 모델링하기 위해.
• 기초 카운팅 과정의 재생 밀도를 사용하여 공동 모멘트를 재귀적으로 유도하기 위해.
• 메타-레프러의 간격 시간을 사용하여 정의된 분수 포isson 과정을 사용하여 무거운 꼬리 청구 도착을 모델링하기 위해.
• 공분산과 상관계수의 渐近적 행동을 공동 모멘트에서 유도된 정확한 표현식을 사용하여 분석하기 위해.
• 장시간 행동을 결정하기 위해 渐近적 전개를 사용하여 특히 거듭제곱 법칙 감쇠를 분석하기 위해.
• 지수 및 파레토 지연의 수치 예제를 통해 α와 δ가 평균, 분산 및 상관계수에 미치는 영향을 시각화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간이 무한으로 갈수록 두 시간에서의 할인된 IBNR 청구 간 상관관계는 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ2 분수 포isson 매개수 α는 IBNR 청구의 장기적 상관계수 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 다른 지연 분포(지수 대비 파레토)는 상관계수의 渐近적 행동과 α에 대한 의존성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 모델은 장거리 의존성을 보이며, 만약 그렇다면 어떤 조건에서 그러한 성질을 갖는가?
• RQ5 이자율 δ는 할인된 IBNR 과정의 평균과 분산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 지수 지연의 경우, Z(s)와 Z(t) 간의 渐近적 상관계수는 t^{-(3−α)/2}로 감쇠되며, 이는 α < 1일 때 거듭제곱 법칙 감쇠와 장거리 의존성을 나타낸다.
• 파레토 지연의 경우, 상관계수는 α에 대해 단조적이지 않으며, α = η와 같은 임계값에서 분산 및 상관계수 함수에 불연속성이 관찰된다.
• Z(t)의 渐近적 평균은 α가 증가함에 따라 증가하며, 이는 간격 시간 분포가 더 가벼워질수록 청구 도착 빈도가 증가하기 때문이다.
• 파레토 지연의 경우, α = η에서 Z(t)의 渐 asymptotic 분산은 불연속성을 보이며, 스케일 제한이 있는 수치 플롯에서도 이를 확인할 수 있다.
• 고정된 s에 대해 시간 t가 증가함에 따라 상관계수가 감소한다. 이는 이전에 보고된 청구가 후속 시점에서 더 잘 보고될 가능성이 높기 때문이다.
• 이자율 δ의 값이 클수록 할인된 IBNR 청구의 평균과 분산이 시간이 지남에 따라 급격히 0으로 감소한다. 특히 큰 t에 대해 그러한 경향이 두드러진다.