[논문 리뷰] Asymptotic coupling and a weak form of Harris' theorem with applications to stochastic delay equations

Martin Hairer, Jonathan C. Mattingly외 1명|ArXiv.org|2009. 02. 26.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 공간에서의 마르코프 과정, 특히 스토하스틱 딜레이 방정식에 대해 점점 더 가까워지는 결합(비대칭 결합)과 약한 해리스 정리(weak Harris theorem)를 사용하여 유일한 에르고딕성과 스펙트럼 간극 존재 조건을 설정한다. 만약 서로 다른 초기 조건에서 시작하는 해들이 점점 더 가까워지고, 리아푸노프 함수가 존재한다면, 전이 핵심이 상호로 비슷하지 않을지라도 유일한 불변 측도가 존재하며 수렴 속도가 지수적으로 빠르게 일어나게 된다.

ABSTRACT

There are many Markov chains on infinite dimensional spaces whose one-step transition kernels are mutually singular when starting from different initial conditions. We give results which prove unique ergodicity under minimal assumptions on one hand and the existence of a spectral gap under conditions reminiscent of Harris' theorem. The first uses the existence of couplings which draw the solutions together as time goes to infinity. Such "asymptotic couplings" were central to recent work on SPDEs on which this work builds. The emphasis here is on stochastic differential delay equations.Harris' celebrated theorem states that if a Markov chain admits a Lyapunov function whose level sets are "small" (in the sense that transition probabilities are uniformly bounded from below), then it admits a unique invariant measure and transition probabilities converge towards it at exponential speed. This convergence takes place in a total variation norm, weighted by the Lyapunov function. A second aim of this article is to replace the notion of a "small set" by the much weaker notion of a "d-small set," which takes the topology of the underlying space into account via a distance-like function d. With this notion at hand, we prove an analogue to Harris' theorem, where the convergence takes place in a Wasserstein-like distance weighted again by the Lyapunov function. This abstract result is then applied to the framework of stochastic delay equations.

연구 동기 및 목표

• 표준 해리스 이론이 상호로 비슷한 전이 핵심 때문에 실패하는 스토하스틱 딜레이 방정식(SDDEs)에서의 작은 집합의 부재 문제를 다루기 위해.
• 무한차원 공간에서의 마르코프 과정에 대해 유일한 에르고딕성을 보장하는 최소이면서 검증 가능한 조건을 설정하기 위해.
• 고전적인 '작은 집합' 조건을 상태 공간 위의 거리 유사 함수 d에 의존하는 'd-작은 집합' 조건으로 대체하여, 워샤르슈타인 유사 거리에서의 지수 수렴을 보장하는 해리스 정리의 약한 형태를 개발하기 위해.
• 편미분 방정식의 에르고딕 이론을 비가역적 소음을 가진 퇴화된 SPDEs와 SDDEs로 확장하기 위해.
• 자연스러운 조건 하에서 SDDEs에 대해 유일한 불변 측도와 지수 수렴을 증명하는 오랜 동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 전이 핵심이 비슷할지라도 시간이 무한히 흐르면서 분포상으로 수렴하는 경로의 점점 더 가까워지는 결합(asymptotic coupling)을 도입한다.
• 과정의 성장과 안정성을 보장하기 위해 리아푸노프 함수를 사용한다.
• 해리스 정리의 고전적 '작은 집합' 조건을 상태 공간 위의 거리 유사 함수 d에 의존하는 'd-작은 집합' 조건으로 대체한다.
• 약한 해리스 정리를 적용하여 리아푸노프 함수로 가중된 워샤르슈타인 유사 거리에서의 지수 수렴을 증명한다.
• 스토하스틱 편미분 방정식(SPDE) 기법을 영감으로 삼아, 브라운 운동에 대한 이동-결합 기법을 사용하여 해들이 점점 더 가까워지도록 유도한다.
• 추상적 결과를 스토하스틱 딜레이 방정식에 적용하여, 최대 하나의 불변 측도를 가지며 지수적으로 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토하스틱 딜레이 방정식이 유일한 불변 측도를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 전이 핵심이 상호로 비슷하고 강한 페일러 성질이 성립하지 않을 경우, 지수 에르고딕성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 고전적인 작은 집합 조건 대신 거리에 의존하는 'd-작은 집합' 조건을 사용하여 해리스 정리의 약한 형태를 구성할 수 있는가?
• RQ4 점점 더 가까워지는 결합은 무한차원에서 전이 핵심이 비슷한 마르코프 과정의 유일한 에르고딕성을 어떻게 증명하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ5 이 이론은 특히 SDDEs로 환원 가능한 퇴화된 소음을 가진 SPDEs로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 서로 다른 초기 조건에서 시작하는 경로들 사이에 점점 더 가까워지는 결합이 존재하면, 유일한 불변 측도가 존재함을 의미한다.
• 리아푸노프 함수와 'd-작은 집합' 조건이 워샤르슈타인 유사 거리에서 리아푸노프 함수로 가중된 지수 수렴을 보장한다.
• 비가역적 소음을 가진 스토하스틱 딜레이 방정식에도 이 이론이 적용되며, 비가역적 소음이 존재할 경우에도 오랜 동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 지연과 상태에 의존하는 소음을 가진 스칼라 SDDE에 대해서는, 비용 함수와 확산 계수에 대한 온건한 조건 하에서 유일한 에르고딕성과 지수 혼합을 증명한다.
• 이 프레임워크는 다항 비선형성을 가진 반선형 SPDEs와 허르망더 조건을 만족하는 가감성 소음을 가진 SPDEs를 포함한 광범위한 퇴화된 SPDEs 클래스로 확장된다.
• 결과는 퇴화된 소음에 대해 강건하며 강한 페일러 성질을 요구하지 않아, 전이 핵심이 비슷한 시스템에도 적용 가능하다.