[논문 리뷰] Asymptotic density of Motzkin numbers modulo small primes

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 15.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수(2, 3, 4, 5, 8) 모듈로 Motzkin 수의 점근 밀도를 잔여 구조의 구조적 특성화를 통해 확립한다. 밑수 q 전개로 정의된 집합을 분석하고 점근 밀도 정리들을 적용하여 정확한 밀도를 유도한다: 짝수 Motzkin 수의 경우 1/3, 5로 나누어떨어지는 수의 경우 1/10, 3으로 나누어떨어지는 수의 경우 1이다.

ABSTRACT

We establish the asymptotic density of the Motzkin numbers modulo small primes.

연구 동기 및 목표

• 작은 소수와 소수의 거듭제곱(특히 2, 3, 4, 5, 8) 모듈로 Motzkin 수의 점근 밀도를 결정하는 것.
• 이전 연구에서 얻어진 Motzkin 수 잔여류의 특성화를 확장하여 각 잔여류 집합의 자연 밀도를 정량화하는 것.
• Motzkin 수열에서 0 잔여류 및 기타 합동 클래스의 빈도에 관해 열려 있는 질문을 해결하는 것.
• 재귀적 잔여 구조와 밑수 q 전개로부터 유도된 구조적 형태를 기반으로 점근 밀도를 계산하는 체계적인 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 이전 연구에서 얻어진 작은 소수와 소수의 거듭제곱 모듈로 Motzkin 수의 잔여 구조적 특성화를 사용한다.
• 정리 1을 적용하여 $ S(q,r,s,t) = \{ (qi + r)q^{sj + t} \} $ 형태의 집합의 점근 밀도를 계산한다. 여기서 $ q, s > 0 $, $ t \geq 0 $, $ 0 \leq r < q $이다.
• 이러한 집합의 점근 밀도를 $ (q^{t+1-s}(q^s - 1))^{-1} $로 유도하여, 잔여류 집합의 밀도 계산이 가능하도록 한다.
• Deutsch, Sagan, Eu, Liu, Yeh, Krattenthaler, Müller, Rowland-Yassawi 등의 이전 결과를 바탕으로 $ M_n \equiv r \mod m $ 를 만족하는 특정 형태의 $ n $ 에 대해 밀도 공식을 적용한다.
• 밑수 3에서 숫자 0과 1만을 포함하는 수의 집합이 점근 밀도 0을 가진다는 사실을 이용하여, 거의 항상 $ M_n \equiv 0 \mod 3 $ 임을 보인다.
• 서로소 잔여류 집합을 조합하고 밀도의 가법성을 적용하여 각 소수 모듈로 2, 3, 4, 5, 8에 대해 총 밀도를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2 모듈로로 나누어떨어지는 Motzkin 수의 점근 밀도는 얼마인가요?
• RQ2 3 모듈로로 나누어떨어지는 Motzkin 수의 점근 밀도는 얼마인가요?
• RQ3 4, 5, 8 모듈로 Motzkin 수의 점근 밀도는 각 잔여류 집합에 대해 어떻게 되나요?
• RQ4 작은 소수 모듈로 Motzkin 수의 밀도는 카탈란 수의 밀도와 어떻게 비교될 수 있나요?
• RQ5 밑수 q 전개로부터 유도된 구조적 형태를 사용하여 작은 소수 모듈로 Motzkin 수의 점근 밀도를 계산할 수 있나요?

주요 결과

• 2로 나누어떨어지는 Motzkin 수의 점근 밀도는 $ \frac{1}{3} $이며, 이는 밀도가 각각 $ \frac{1}{12} $인 네 개의 서로소 잔여류 집합에서 유도된다.
• 8 모듈로 4와 합동인 Motzkin 수의 점근 밀도는 $ \frac{1}{6} $이며, 이는 네 개의 잔여류 집합 중 두 개에 해당한다.
• 8 모듈로 2 또는 6과 합동인 Motzkin 수의 점근 밀도는 각각 $ \frac{1}{12} $이며, 이는 이진 전개에서 1비트의 균형 잔여 구조 때문이므로 균일하게 분포되어 있다.
• 5로 나누어떨어지는 Motzkin 수의 점근 밀도는 $ \frac{1}{10} $이며, 이는 밀도가 각각 $ \frac{1}{24} $인 두 형식과 밀도가 $ \frac{1}{120} $인 두 형식의 기여로 구성된다.
• 3으로 나누어떨어지는 Motzkin 수의 점근 밀도는 1이며, 이는 $ M_n \not\equiv 0 \mod 3 $ 를 만족하는 인덱스 집합의 밀도가 0이기 때문이다.
• 8 모듈로 0과 합동인 $ M_n $ 의 인덱스 집합은 점근 밀도 0을 가지며, 이는 Rowland과 Yassawi의 결과와 일치한다. 즉, 0은 8 모듈로 금지된 잔여류이다.