[논문 리뷰] Asymptotic density of states in 2d CFTs with non-invertible symmetries

Ying‐Hsuan Lin, Masaki Okada외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 10.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 2차원 CFT에서 유한군 대칭을 갖는 경우에 알려진 점점 밀도 공식을, 융합 분류에 의해 기술되는 비가역 대칭으로 일반화한다. 튜브 대수와 드린펠트 중심을 도입하여 융합 분류의 기약 표현을 식별하고, $\dim\mu \cdot \langle\mu, \tau\rangle$ 비례하는 보편적인 점점 공식을 유도함으로써, 카디의 공식을 선택 규칙과 스펙트럼 분석을 고려한 비가역 대칭으로 확장한다.

ABSTRACT

It is known that the asymptotic density of states of a 2d CFT in an irreducible representation $ρ$ of a finite symmetry group $G$ is proportional to $(\dimρ)^2$. We show how this statement can be generalized when the symmetry can be non-invertible and is described by a fusion category $\mathcal{C}$. Along the way, we explain what plays the role of a representation of a group in the case of a fusion category symmetry; the answer to this question is already available in the broader mathematical physics literature but not yet widely known in hep-th. This understanding immediately implies a selection rule on the correlation functions, and also allows us to derive the asymptotic density.

연구 동기 및 목표

• 2차원 CFT에서 유한군 대칭을 갖는 경우에 이미 알려진 보편적인 점점 밀도 공식을, 융합 분류로 기술되는 비가역 대칭의 경우로 확장한다.
• 융합 분류 대칭의 맥락에서 군 표현의 분류적 일반화를 명확히 하기 위해 튜브 대수와 드린펠트 중심 구조를 사용한다.
• 융합 분류 대칭의 구조에서 기인하는 상관 함수에 대한 선택 규칙을 도출한다.
• 큰 중심 전하 근처에서 융합 분류의 드린펠트 중심에 의해 표시된 어떤 anyon $\mu$에 해당하는 영역에서의 밀도 공식에 대한 보편적인 점점 공식을 수립한다.

제안 방법

• 융합 분류 $\mathcal{C}$ 에서 튜브 대수 $\mathrm{Tube}(\mathcal{C})$ 를 구성하여 대칭의 기약 표현을 분류한다.
• 드린펠트 중심 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 를 사용하여 융합 분류 대칭의 기약 표현을 분류함으로써 군 표현을 일반화한다.
• 융합 규칙을 표현하는 행렬 $\mathbf{N}_\rho$ 를 사용하여 비틀림 $\tau$ 를 갖는 anyon 체인에 대한 점점 힐베르트 공간 차원 $\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}$ 를 정의한다.
• 비음수 행렬 $\mathbf{N}_\rho$ 에 페르론-프로베니우스 이론을 적용하여 상태 수의 큰 $L$ 점점 행동을 분석한다.
• 점점 공식 $\lim_{L\to\infty} \frac{\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}}{r^L} \propto \langle\mu,\tau\rangle \dim\mu$ 를 도출하며, 여기서 $r$ 은 스펙트럼 반경이다.
• 스펙트럼의 주기성 $h$ 를 고려하기 위해 연속된 $h$ 개의 $L$ 값에 대해 평균을 내어 점점 행동을 안정화시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군의 표현 개념은 2차원 CFT에서 비가역 대칭을 기술하는 융합 분류로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비가역 대칭의 경우 점점 밀도 공식에서 $ (\dim\rho)^2 $ 비례 요소의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 융합 분류 대칭으로 인해 상관 함수에 나타나는 선택 규칙은 무엇이며, 이는 어떻게 범주론적으로 표현되는가?
• RQ4 드린펠트 중심 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 의 기약 영역에 따라 점점 밀도 공식은 어떻게 분해되는가?
• RQ5 융합 행렬 $\mathbf{N}_\rho$ 의 스펙트럼 반경과 주기성은 큰 $L$ 근처에서 힐베르트 공간 차원의 점점 행동에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 융합 분류 대칭 $\mathcal{C}$ 를 갖는 2차원 CFT에서의 점점 밀도는 $\dim\mu \cdot \langle\mu, \tau\rangle$ 비례하며, 여기서 $\mu$ 는 드린펠트 중심 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 의 anyon 을 나타내고 $\tau$ 는 비틀림 레이블이다.
• 비례 계수는 군 대칭의 경우 $ (\dim\rho)^2 $ 규칙을 융합 분류로 일반화한 것으로, 이제는 양자 차원 $\dim\mu$ 와 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$-융합 계수 $\langle\mu, \tau\rangle$ 가 포함된다.
• 힐베르트 공간이 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$-기약 표현으로 분해됨에 따라 상관 함수에 대한 선택 규칙이 발생하며, 이는 허용되는 연산자 삽입을 제한한다.
• 힐베르트 공간 차원 $\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}$ 의 큰 $L$ 점점 행동은 융합 행렬 $\mathbf{N}_\rho$ 의 스펙트럼 반경 $r$ 에 의해 지배되며, 수렴 속도는 페르론-프로베니우스 고유벡터에 의해 결정된다.
• 융합 행렬 $\mathbf{N}_\rho$ 가 주기성 $h > 1$ 을 갖는 경우, 점점 공식은 수렴한계를 안정화시키기 위해 연속된 $h$ 개의 $L$ 값에 대해 평균을 내야 한다.
• 점점 공식 $\lim_{L\to\infty} \frac{1}{h}\sum_{\ell=L}^{L+h-1} \frac{\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(\ell)}}{r^{\ell}} \propto \langle\mu,\tau\rangle \dim\mu$ 는 주기성 존재 여부에 관계없이 보편적으로 성립한다.