[논문 리뷰] Asymptotic Dimension of Minor-Closed Families and Assouad-Nagata Dimension of Surfaces

Marthe Bonamy, Nicolás Bousquet외 5명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 04.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 모든 적절한 미니처-폐쇄 그래프 가족이 점점 커지는 차원을 최대 2로 가지며, 이는 Fujiwara와 Papasoglu가 제기한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결하고, Ostrovskii와 Rosenthal의 미니처 제외 군에 대한 문제를 강력한 형태로 확장한다. 또한, 고유한 그래프 이론 기법을 사용하여 레이어드 트리너비가 유계이고 다항 성장률을 가지는 그래프에 대해, 완전한 리만 곡면이 Assouad-Nagata 차원을 최대 2로 가짐을 보인다.

ABSTRACT

The asymptotic dimension is an invariant of metric spaces introduced by Gromov in the context of geometric group theory. In this paper, we study the asymptotic dimension of metric spaces generated by graphs and their shortest path metric and show their applications to some continuous spaces. The asymptotic dimension of such graph metrics can be seen as a large scale generalisation of weak diameter network decomposition which has been extensively studied in computer science. We prove that every proper minor-closed family of graphs has asymptotic dimension at most 2, which gives optimal answers to a question of Fujiwara and Papasoglu and (in a strong form) to a problem raised by Ostrovskii and Rosenthal on minor excluded groups. For some special minor-closed families, such as the class of graphs embeddable in a surface of bounded Euler genus, we prove a stronger result and apply this to show that complete Riemannian surfaces have Assouad-Nagata dimension at most 2. Furthermore, our techniques allow us to prove optimal results for the asymptotic dimension of graphs of bounded layered treewidth and graphs of polynomial growth, which are graph classes that are defined by purely combinatorial notions and properly contain graph classes with some natural topological and geometric flavours.

연구 동기 및 목표

• 기하군론과 코arse 기하학에서 열려 있는 문제를 해결하기 위해, 적절한 미니처-폐쇄 그래프 가족의 점점 커지는 차원을 규명하는 것.
• 표면 임bedding에서 유도된 그래프 거리 체계를 활용하여, 완전한 리만 곡면의 Assouad-Nagata 차원을 확립하는 것.
• 레이어드 트리너비와 성장률과 같은 조합적 매개변수로 정의된 그래프 클래스에 대해 제어 함수 기법을 확장하는 것.
• 약한 직경 네트워크 분해에 관한 이전 결과를 강화하여, 광범위한 그래프 클래스에 대해 최적의 점점 커지는 차원 경계를 증명하는 것.
• 증가 성질, 점점 커지는 차원, 그리고 분리 정리 간의 관계를 단조 그래프 가족에서 조사하는 것.

제안 방법

• 제어 함수를 통한 점점 커지는 차원 정의를 위해 $ r $-해리, $ D(r) $-유계 덮개의 개념을 사용한다.
• 미니처-폐쇄 가족의 점점 커지는 차원을 유계화하기 위해 그래프 미니처 이론과 구조적 분해 기법을 적용한다.
• 연속적인 리만 곡면과 유한한 오일러 지표를 가진 그래프 임베딩 간의 연결을 위한 이산화 방법을 도입한다.
• 레이어드 트리너비와 성장률 제약 조건을 활용하여 그래프 클래스 전반에 걸쳐 점점 커지는 차원에 대한 균일한 경계를 도출한다.
• 약한 직경 네트워크 분해 및 미니처 배제 결과를 활용하여 차원 경계를 증명한다.
• 표면에 임베딩 가능한 그래프의 경우, 이전 결과(arXiv 논문 [10, 30]에서의 결과)를 Assouad-Nagata 차원으로 향상시켜 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 적절한 미니처-폐쇄 그래프 가족의 점점 커지는 차원은 무엇인가?
• RQ2 레이어드 트리너비가 유계이거나 다항 성장률을 가지는 그래프의 점점 커지는 차원은 균일하게 유계가 될 수 있는가?
• RQ3 모든 완전한 리만 곡면은 Assouad-Nagata 차원을 최대 2 이내로 가지는가?
• RQ4 임의의 고정된 $ H $와 $ q $에 대해, $ q $-지방 $ H $-미니처를 배제하는 그래프에 대해 점점 커지는 차원에 균일한 경계가 존재하는가?
• RQ5 점점 커지는 차원가 유계인 단조 그래프 가족은 반드시 다항 증가 성질을 가진다 할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 적절한 미니처-폐쇄 그래프 가족은 점점 커지는 차원을 최대 2로 가지며, 이는 최적의 결과이며 Fujiwara와 Papasoglu의 질문을 해결한다.
• 유한한 오일러 지표를 가진 표면에 임베딩 가능한 그래프의 집합은 점점 커지는 차원을 최대 2로 가지며, 이는 완전한 리만 곡면이 Assouad-Nagata 차원을 최대 2로 가짐을 이끌어낸다.
• 레이어드 트리너비가 유계인 그래프는 점점 커지는 차원을 최대 2로 가지며, 핵심 기술적 보조정리에서 이전의 경계 12에서 1로 향상된다.
• 다항 성장률을 가지는 그래프는 점점 커지는 차원이 유계이며, 이 경계는 날카롭다: 성장률이 $ 3r+1 $보다 느리면 차원은 1로 내려간다.
• 이 논문은 David Wood의 추측에 대해 부정적인 답을 제시한다: 점점 커지는 차원이 1이지만 초다항 증가 성질을 가지는 단조 그래프 가족이 존재한다.
• $ q $-지방 $ K_{2,p} $-미니처를 포함하지 않는 그래프의 집합은 임의의 $ p, q $에 대해 점점 커지는 차원을 최대 1로 가지며, 이는 차원에 대한 강력한 구조적 제약 조건을 보여준다.