[논문 리뷰] Asymptotic distribution of the Markowitz portfolio

Steven E. Pav|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 02.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 60인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 모멘트 조건과 다변량 정규성 하에서 마크owitz 포트폴리오의 점근적 분포를 유도하여 이질성과 자기상관이 존재하는 상황에서도 강건한 추론을 가능하게 한다. 포트폴리오의 정밀행렬과 선형 조합에 대한 최대우도 검정을 제공하며, 오차 분해와 포트폴리오 수축에 적용 가능하다.

ABSTRACT

The asymptotic distribution of the Markowitz portfolio is derived, for the general case (assuming fourth moments of returns exist), and for the case of multivariate normal returns. The derivation allows for inference which is robust to heteroskedasticity and autocorrelation of moments up to order four. As a side effect, one can estimate the proportion of error in the Markowitz portfolio due to mis-estimation of the covariance matrix. A likelihood ratio test is given which generalizes Dempster's Covariance Selection test to allow inference on linear combinations of the precision matrix and the Markowitz portfolio. Extensions of the main method to deal with hedged portfolios, conditional heteroskedasticity, conditional expectation, and constrained estimation are given. It is shown that the Hotelling-Lawley statistic generalizes the (squared) Sharpe ratio under the conditional expectation model. Asymptotic distributions of all four of the common `MGLH' statistics are found, assuming random covariates. Examples are given demonstrating the possible uses of these results.

연구 동기 및 목표

• 네 번째 모멘트가 존재하는 일반적인 모멘트 조건 하에서 표본 마크owitz 포트폴리오의 점근적 분포를 도출하여 강건한 통계적 추론을 가능하게 한다.
• 수익률 모멘트의 이질성과 자기상관을 네 번째 차수까지 다룰 수 있는 추론을 확장한다.
• 포트폴리오 오차의 비율 중 공분산 행렬의 오차 추정에 기인하는 비율을 추정하여 일반적으로 수익률 평균 추정이 오차를 지배한다고 여겨지는 관념에 도전한다.
• Dempster의 공분산 선택 검정을 일반화하여 정밀행렬과 마크owitz 포트폴리오의 선형 조합에 대한 추론을 가능하게 한다.
• 헤지된 포트폴리오, 조건부 이질성, 조건부 기대값, 제약 조건이 있는 추정 등으로 프레임워크를 통합적으로 확장한다.

제안 방법

• 마크owitz 포트폴리오를 선형 회귀 문제의 해로 설정하여 일반적인 모멘트 조건 하에서 점근적 정규성을 도출한다.
• 확장된 이차모멘트 행렬 $\mathsf{\Theta} = \mathbb{E}[\tilde{\mathbf{x}} \tilde{\mathbf{x}}^\top]$ 를 사용하여 마크owitz 포트폴리오를 $\mathsf{\Theta}$ 의 역행렬과 연결한다. 여기서 $\tilde{\mathbf{x}} = [1, \mathbf{x}^\top]^\top$ 이다.
• i.i.d. 수익률이 존재하고 네 번째 모멘트가 유한하다는 가정 하에 $\tilde{\mathbf{x}}$ 의 표본 이차모멘트에 중심극한정리를 적용하여 $\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 의 점근적 분포를 도출한다.
• 표본 마크owitz 포트폴리오 $\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 와 $\hat{\mathsf{\Sigma}}^{-1}$ 의 점근적 공분산을 유도하여 오차 분해와 수축 추정을 가능하게 한다.
• 다변량 정규성 하에서 $\boldsymbol{\nu}_*$ 와 $\mathsf{\Sigma}^{-1}$ 의 선형 조합에 대한 최대우도 검정을 구성하여 Dempster의 검정을 일반화한다.
• 핫셀링-로우리 통계량이 조건부 기대모형 하에서 제곱 샤프 레이션을 일반화함을 보여주며, 전통적인 통계학과 포트폴리오 성과 측정 지표를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네 번째 모멘트만 존재하는 조건 하에서 표본 마크owitz 포트폴리오의 점근적 분포는 무엇이며, 이질성과 자기상관에 대해 어떻게 강건한 추론이 가능할 수 있는가?
• RQ2 마크owitz 포트폴리오의 추정 오차 중 공분산 행렬의 오차 추정에 기인하는 비율은 어느 정도인가?
• RQ3 정밀행렬과 마크owitz 포트폴리오의 선형 조합에 대한 최대우도 검정을 개발할 수 있는가? 이는 기존의 검정을 일반화하는가?
• RQ4 네 가지 일반선형모형 통계량(MGLH, 예: 핫셀링-로우리)의 점근적 분포는 랜덤 공분산 변수와 일반적인 모멘트 조건 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 헤지된 포트폴리오, 조건부 이질성, 제약 조건이 있는 추정을 통합적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 수익률의 네 번째 모멘트가 유한하다는 가정 하에 표본 마크owitz 포트폴리오 $\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 는 점근적으로 정규분포를 따른다.
• $\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 의 점근적 공분산은 추정이 가능하며, 네 번째 차수까지의 모멘트에서의 이질성과 자기상관에 대해 강건하다.
• 유도된 점근적 공분산 구조에서 직접적으로 공분산 행렬의 오차 추정에 기인한 오차 비율을 추정할 수 있다.
• 다변량 정규 수익률 조건 하에서, 정밀행렬과 마크owitz 포트폴리오의 선형 조합에 대한 최대우도 검정이 도출되었으며, 이는 Dempster의 공분산 선택 검정을 일반화한다.
• 핫셀링-로우리 통계량은 조건부 기대모형 하에서 제곱 샤프 레이션을 일반화함을 보여주며, 성과 평가를 위한 통합적인 통계적 프레임워크를 제공한다.
• 랜덤 공분산 변수 하에서 네 가지 MGLH 통계량(예: 피라이의 트레이스, 윌크스의 람다)의 점근적 분포가 도출되었으며, 이는 고전적인 다변량 분석을 포트폴리오 분석 맥락으로 확장한다.