[논문 리뷰] Asymptotic entanglement in the discrete-time quantum walk

G. Abal, R. Donangelo외 1명|ArXiv.org|2007. 09. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비엔트로피를 사용하여 이산 시간 양자 산책에서 渐近적 얽힘을 조사한다. 국소적 또는 비국소적 초기 상태를 가진 단일 산책자에 대해 장기적 한계에서의 얽힘을 해석적으로 유도하며, 비분리 코인 연산을 사용하는 두 산책자 시스템이 시간에 따라 로그적으로 증가하는 이산 얽힘을 생성함을 보여주며, 그 증가율은 고워러의 및 RP 코인 연산에서 최대 c ≈ 0.89까지 가능하다.

ABSTRACT

The coin-position entanglement generated by the evolution operator of a discrete--time quantum walk converges, in the long time limit, to a well defined value which depends on the initial state. We also discuss the asymptotic bi-partite entanglement generated by several non-separable coin operations for two coherent quantum walkers, for which the entropy of entanglement increases logarithmically.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간 양자 산책에서 단일 산책자의 코인 및 위치 자유도 간 장기적 얽힘을 정량화하는 것.
• 초기 상태 준비 방식이 산책에서의 渐近적 얽힘 수준에 미치는 영향을 규명하는 것.
• 비분리 코인 연산을 사용하는 두 산책자 시스템에서 입자 간 얽힘 생성을 탐구하는 것.
• 양자 게임에서 유래한 비국소적 코인 연산을 사용하여 다중 산책자 양자 산책의 얽힘 시간 진화를 특성화하는 것.
• 다중 산책자 시나리오에서 시간에 따른 얽힘의 스케일링을 정량화하는 해석적 표현을 수립하는 것.

제안 방법

• 얽힘의 측정으로서 감소 밀도 행렬의 비엔트로피(얽힘의 비엔트로피)를 사용한다.
• 시간 진화의 푸리에 분석을 적용하여 코인-위치 얽힘에 대한 渐近적 표현을 도출한다.
• 운동자 연산을 대각화하고 시간에 의존하는 진폭을 구하기 위해 운동량 기저 상태 |k⟩를 사용하는 이중 공간 표현을 활용한다.
• 국소적 및 비국소적 초기 상태(예: |±1⟩ 위치 고유상태의 초위상)에 대해 얽힘 엔트로피의 渐近적 행동을 분석한다.
• 고워러의 및 랜덤-파블로프(RP) 코인과 같은 비분리 코인 연산을 사용하는 두 양자 산책자로 프레임워크를 확장한다.
• 로그₂(t) 대 S_E의 선형 회귀를 수행하여 로그 증가 S_E ∼ log₂(t^c)에서의 스케일링 지수 c를 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적 초기 상태를 가진 단일 산책자 이산 시간 양자 산책에서 코인과 위치 간의 渐近적 얽힘 값은 무엇인가?
• RQ2 비국소적 초기 조건을 사용할 경우, 단일 산책자 산책에서 임의의 渐近적 얽힘 수준을 달성할 수 있는가?
• RQ3 비분리 코인 연산을 적용할 경우, 두 양자 산책자 간의 얽힘은 시간에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 고워러의 또는 RP 연산과 같은 비분리 코인을 사용하는 다중 산책자 양자 산책에서 얽힘 증가의 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ5 두 산책자 시스템에서 얽힘 스케일링 지수 c는 초기 코인 상태와 코인 연산의 선택에 따라 달라지는가?

주요 결과

• 헤다드 산책에서 국소적 초기 상태를 가진 단일 산책자에 대해, 渐近적 얽힘은 약 0.736에서 완전한 얽힘 사이의 값으로 수렴하며, 이는 초기 코인 상태에 따라 달라진다.
• |±1⟩ 위치 고유상태를 포함하는 비국소적 초기 조건을 사용할 경우, 얽힘은 0에서 1 사이의 임의의 값으로 조절 가능하다.
• 비분리 코인 연산을 사용하는 두 산책자 시스템에서는 이산 얽힘이 시간에 따라 로그적으로 증가하며, S_E ∼ log₂(t^c)의 형태를 따른다.
• 초기 상태 |χ₂⟩를 가진 고워러의 코인의 경우, 얽힘 스케일링 지수는 c ≈ 0.89로 나타나 빠른 증가를 의미한다.
• RP 코인 연산의 경우, c ≈ 0.87로 증가하며, 고워러의 코인의 빠른 증가 케이스와 유사하다.
• 국소적 초기 상태 |χ₁⟩를 가진 고워러의 코인의 경우, 얽힘은 더 천천히 증가하며, c ≈ 0.52로 나타나 얽힘 축적 속도가 느리다.