[논문 리뷰] Asymptotic evaluation of the matrix permanents giving the bosonic probability amplitudes in linear unitary networks

V. S. Shchesnovich|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 24.

Optical Network Technologies인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 보스온 수 $N$ 가 모드 수 $M$ 에 비해 매우 클 때 유한 모드 선형 유니터리 네트워크에서 보스온 확률 진폭을 점점 더 정확하게 추정하기 위한 渐近 분석 방법을 개발한다. 다차원 적분 표현에 대해 사다리점 방법을 적용함으로써, 유니터리 행렬의 스케일링 문제를 해결함으로써 $Ø(1/N)$ 오차 범위 내의 근사치를 도출한다. 이는 이중 및 삼중 모드 네트워크에서 단순한 사다리점에 대한 명시적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

An asymptotic analytical approach is proposed for bosonic probability amplitudes in unitary linear networks, such as the optical multiport devices for photons. The asymptotic approach applies for large number of bosons $N\gg M$ in the $M$-mode network, where $M$ is finite. The probability amplitudes of $N$ bosons unitarily transformed from the input modes to the output modes of a unitary network are expressed through a multidimensional integral with the integrand containing a large parameter (N) in the exponent. The integral representation allows an asymptotic estimate of bosonic probability amplitudes up to a multiplicative error of order 1/N by the saddle point method. The estimate depends on solution of the scaling problem for the $M imes M$-dimensional unitary network matrix: to find the left and right diagonal matrices which scale the unitary matrix to a matrix which has specified row and column sums (equal, respectively, to the distributions of bosons in the input and output modes). The scaled matrices give the saddle points of the integral. For simple saddle points, an explicit formula giving the asymptotic estimate of bosonic probability amplitudes is derived. Performance of the approximation and the scaling of the relative error with N are studied for two-mode network (the beam-splitter), where the saddle-points are roots of a quadratic and an exact analytical formula for the probability amplitudes is available, and for three-mode network (the tritter).

연구 동기 및 목표

• $N \gg M$ 일 때 선형 유니터리 네트워크 내 보스온 확률 진폭을 점점 더 정확하게 추정하기 위한 점점 더 정확한 방법을 개발하기 위해.
• 많은 보스온을 포함하는 양자 광학 네트워크에서 고차원 영구행렬 유사 진폭을 계산하는 데 도전하는 데에.
• 제어 가능한 오차 스케일링을 갖는 체계적인 근사 방법을 제공하기 위해.
• 이중 및 삼중 모드 네트워크와 같은 단순한 경우에서의 점점 더 정확한 추정치에 대한 명시적 공식을 유도하기 위해.

제안 방법

• 확률 진폭을 지수에 큰 매개변수 $N$ 이 포함된 다차원 적분으로 표현하기 위해.
• 사다리점 방법을 적용하여 적분을 근사하고, 사다리점에서 기여하는 주요 기여를 식별하기 위해.
• 스케일링 문제를 제안: 입력 및 출력 보스온 분포에 맞는 행과 열의 합을 갖도록 단위 행렬을 스케일링하는 좌우 대각 행렬을 찾기 위해.
• 스케일링 문제를 해결하여 복소수 영역 내 사다리점의 위치를 결정하기 위해.
• 사다리점이 단순할 경우 진폭에 대한 명시적 점점 더 정확한 공식을 도출하기 위해.
• 정확한 분석 결과와 비교하여 이중 모드(비스퍼) 및 삼중 모드(트리터) 네트워크에서 수치적으로 근사치를 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보스온 수 $N$ 이 모드 수 $M$ 에 비해 매우 클 때, 유한 모드 선형 유니터리 네트워크 내 보스온 확률 진폭은 어떻게 근사할 수 있는가?
• RQ2 큰 $N$ 근처에서 진폭 적분의 주요 기여는 어떤 구조를 갖는가?
• RQ3 유니터리 행렬의 스케일링 문제는 점점 더 정확한 근사에서 사다리점의 위치와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 점점 더 정확한 근사의 정확도는 어떻게 되며, 상대 오차는 $N$ 과 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 이 방법은 비스퍼 및 트리터와 같은 단순한 네트워크에서 진폭에 대해 명시적 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 사다리점 방법을 사용하여 보스온 진폭의 점점 더 정확한 근사는 $Ø(1/N)$ 승수 오차 범위 내에서 달성된다.
• 사다리점은 입력 및 출력 보스온 분포에 맞는 유니터리 행렬의 행과 열의 합을 균형 잡는 매트릭스 스케일링 문제를 해결함으로써 결정된다.
• 이중 모드 비스퍼의 경우 사다리점은 이차 방정식의 근에 해당하며, 점점 더 정확한 공식은 제어 가능한 오차 범위 내에서 정확한 진폭과 일치한다.
• 삼중 모드 트리터의 경우, 방법은 상대적으로 예측 가능한 오차 스케일링을 갖는 진폭을 성공적으로 추정한다.
• 근사치의 상대 오차는 $N$ 이 증가함에 따라 감소하며, 이는 접근법의 점점 더 정확한 타당성을 확인한다.
• 사다리점이 비퇴화되고 단순할 경우 점점 더 정확한 진폭에 대한 명시적 해석 공식이 도출된다.