[논문 리뷰] Asymptotic expansion of a variation with anticipative weights

Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 74인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 밀리빈 미분법과 스코로호드 적분 이론을 이용하여 예측 불가능한(비예측 가능한) 가중치를 갖는 웨이너 과정의 변형에 대한 渐近 전개를 개발한다. 무작위 기능의 차수를 기반으로 한 새로운 분류 체계를 도입하여 스토크라스틱 전개를 체계적으로 분석하며, 준비두스터미언, 준탄제인트 및 기타 무작위 기호를 포함하는 전개 공식을 도출한다. 이는 고빈도 금융에서의 강건한 볼라티리티 추정에 응용된다.

ABSTRACT

Asymptotic expansion of a variation with anticipative weights is derived by the theory of asymptotic expansion for Skorohod integrals having a mixed normal limit. The expansion formula is expressed with the quasi-torsion, quasi-tangent and other random symbols. To specify these random symbols, it is necessary to classify the level of the effect of each term appearing in the stochastic expansion of the variable in question. To solve this problem, we consider a class ${\cal L}$ of certain sequences $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$ of Wiener functionals and we give a systematic way of estimation of the order of $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$. Based on this method, we introduce a notion of exponent of the sequence $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$, and investigate the stability and contraction effect of the operators $D_{u_n}$ and $D$ on ${\cal L}$, where $u_n$ is the integrand of a Skorohod integral. After constructed these machineries, we derive asymptotic expansion of the variation having anticipative weights. An application to robust volatility estimation is mentioned.

연구 동기 및 목표

• 예측 불가능한 가중치를 갖는 웨이너 과정의 변형에 대한 渐近 전개를 유도하는 것.
• 스토크라스틱 전개에 포함된 웨이너 기능의 수열을 다루는 체계적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 각 전개 항의 기여도를 분류하기 위해 웨이너 기능의 수열에 대한 '지수' 개념을 도입하고 분석하는 것.
• 최근 정의된 클래스 $\mathcal{L}$ 의 기능에 대해 밀리빈 미분자와 발산 연산자의 안정성 및 수축 성질을 확립하는 것.
• 유도된 전개를 통계 문제, 특히 고빈도 데이터에서의 강건한 볼라티리티 추정에 적용하는 것.

제안 방법

• 논문은 혼합 정규 극한을 갖는 스코로호드 적분에 대한 渐近 전개 이론을 기반 프레임워크로 사용한다.
• 변형 변수의 스토크라스틱 전개를 분석하기 위해 $\mathcal{L}$ 이라는 웨이너 기능의 수열 $({\cal I}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 의 클래스를 정의한다.
• 다중 웨이너 적분과 그 도함수의 구조에 기반하여 각 항의 주요 크기 순서를 분류하기 위해 새로운 '지수' 개념을 도입한다.
• 곱셈 공식과 모멘트 추정을 이용하여 다중 웨이너 적분과 그 도함수의 $L^p$-노름을 추정하는 것이 방법의 핵심이다.
• 전개의 재귀적 구조를 통해 $\mathcal{L}$ 에서의 밀리빈 미분자 $D$ 와 발산 연산자 $\delta$ 의 안정성 및 수축 효과를 분석한다.
• 마팅게일 유형 분해와 준준두스터미언 및 준탄제인트 기호의 도함수에 대한 경계를 통해 전개를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예측 가능한 가중치를 갖는 변형의 스토크라스틱 전개에서 항의 순서를 어떻게 시스템적으로 분류하고 추정할 수 있는가?
• RQ2 밀리빈 미분자와 발산 연산자가 이러한 전개의 점근적 행동을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 웨이너 기능의 수열의 지수가 전개에서 주요 기여도를 결정하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 연산자 $D_{u_n}$ 과 $D$ 가 클래스 $\mathcal{L}$ 에서 안정성 및 수축성을 확보하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 유도된 전개가 고빈도 금융 데이터에서의 강건한 볼라티리티 추정을 향상시키는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 변형 $V_n$ 의 渐近 전개가 준준두스터미언, 준탄제인트 및 기타 무작위 기호의 관점에서 도출되었으며, 중심극한정리 이상의 정밀한 근사 제공.
• 수열 $({\cal I}_n)$ 의 지수가 정의되고 각 항의 기여도를 분류하는 데 사용되어 전개에서 정확한 순서 추정이 가능해짐.
• 적절한 조건 하에서 전개의 나머지 항의 $L^p$-노름이 $O(n^{-1})$ 임을 보였으며, 이는 이전의 경계를 향상시킴.
• 다중 웨이너 적분의 다항식에 대해 $L^{2k}$-노름이 $C n^{-\frac{1}{2}\xi}$ 로 유계이며, $\xi = \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} - m - \#\{i: p_i \geq 2 \text{ 및 } p_i q_i \text{ 가 짝수}\}$ 이므로 날카운 감쇠 속도가 확립됨.
• 준준두스터미언의 도함수는 $\|D_{u_n}D_{u_n}D_{u_n}M_n\|_p = o(r_n)$ 를 만족하며, 이는 마팅게일 전개 접근법에 있어 핵심적이다.
• 강건한 볼라티리티 추정에 대한 응용이 제시되었으며, 이는 확산 과정에 대한 통계적 추론에서 전개의 관련성을 보여준다.