[논문 리뷰] Asymptotic expansion of Skorohod integrals

David Nualart, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주파수 도메인에서의 두 번째 차수 보간과 마팅게일 전개 기법을 결합하여 스코로호드 적분에 대한 渐近 전개를 개발한다. 전개를 표현하기 위해 새로운 랜덤 기호인 준 탄젠트( quasi tangent), 준 비틀림( quasi torsion), 수정된 준 비틀림( modified quasi torsion)을 도입한다. 이 전개는 분수 차분 브라운 운동과 무작위 가중치를 가진 브라운 운동의 이차형식에 대해 검증되었으며, 마팅게일 방법을 통해 기존 결과를 재현한다.

ABSTRACT

Asymptotic expansion of the distribution of a perturbation $Z_n$ of a Skorohod integral jointly with a reference variable $X_n$ is derived. We introduce a second-order interpolation formula in frequency domain to expand a characteristic functional and combine it with the scheme developed in the martingale expansion. The second-order interpolation and Fourier inversion give asymptotic expansion of the expectation $E[f(Z_n,X_n)]$ for differentiable functions $f$ and also measurable functions $f$. In the latter case, the interpolation method connects the two non-degeneracies of variables for finite $n$ and $\infty$. Random symbols are used for expressing the asymptotic expansion formula. Quasi tangent, quasi torsion and modified quasi torsion are introduced in this paper. We identify these random symbols for a certain quadratic form of a fractional Brownian motion and for a quadratic from of a fractional Brownian motion with random weights. For a quadratic form of a Brownian motion with random weights, we observe that our formula reproduces the formula originally obtained by the martingale expansion.

연구 동기 및 목표

• 기본 변수가 존재하는 스코로호드 적분의 변형에 대한 일반적인 渐近 전개 프레임워크를 개발한다.
• 유한 분포와 극한 분포에서의 비퇴직성 문제를 해결하기 위해 주파수 도메인에서의 두 번째 차수 보간을 도입한다.
• 고차항을 표현하기 위해 새로운 랜덤 기호인 준 탄젠트, 준 비틀림, 수정된 준 비틀림을 도입하고 체계화한다.
• 연속 함수뿐만 아니라 측정 가능 함수에 대해서도 전개의 타당성을 입증하며, 전통적인 미분 가능성 가정을 초월한다.
• 무작위 가중치를 가진 브라운 운동의 이차형식에 대해 마팅게일 전개에서 알려진 결과를 재현함으로써 새로운 방법의 타당성을 검증한다.

제안 방법

• 스코로호드 적분과 기저 변수의 쌍의 특성 기능을 주파수 도메인에서의 두 번째 차수 보간 공식을 적용하여 전개한다.
• 보간 기법과 마팅게일 전개 체계를 융합하여 $\mathbb{E}[f(Z_n, X_n)]$ 형식의 기대값에 대한 渐近 전개를 유도한다.
• 마셜리브 미분과 공분산 구조에서 유도된 랜덤 기호인 준 탄젠트, 준 비틀림, 수정된 준 비틀림을 사용하여 전개의 고차항을 표현한다.
• 마셜리브 미분의 성질, 지지 정리 및 정규성 조건을 활용하여 나머지 항의 모멘트 및 $L^p$-노름 추정을 수립한다.
• 푸리에 역변환과 국소 밀도 근사 기법을 적용하여 진짜 분포와 전개 근사 간의 오차를 제어한다.
• 나머지 항의 정규성과 감쇠 조건을 보장하는 조건 [D] 하에서 전개를 검증한다. 이 조건은 $L^p$ 유계성과 랜덤 기호의 수렴성을 통해 나머지 항의 충분한 정규성과 감쇠를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 표본 분포가 퇴적될 수 있지만 극한 분포는 비퇴적일 경우 스코로호드 적분에 대한 渐近 전개를 체계적으로 유도할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 주파수 도메인에서의 두 번째 차수 보간은 어떤 역할을 하여 유한 표본 분포와 극한 분포 사이의 격차를 메우는가?
• RQ3 새로운 랜덤 기호인 준 탄젠트, 준 비틀림, 수정된 준 비틀림은 전개의 고차항을 어떻게 구조적으로 기술하는가?
• RQ4 제안된 방법이 마팅게일 전개 프레임워크에서 알려진 결과를 재현하는 경우는 언제인가?
• RQ5 마셜리브 미분과 공분산 구조에 어떤 조건이 요구되어 측정 가능 함수에 대해 渐近 전개의 타당성이 보장되는가?

주요 결과

• 측정 가능 함수 $f$ 에 대해 조건 [C] 또는 [C♮] 하에서 $\mathbb{E}[f(Z_n, X_n)]$ 의 渐近 전개가 타당하다. 이는 미분 가능 함수를 초월하여 적용 가능하다.
• 적절한 정규성 및 감쇠 조건 하에서 $n \to \infty$ 일 때 나머지 항 $\Delta_n(f)$ 는 $o(r_n)$ 임을 보였다.
• 준 탄젠트, 준 비틀림, 수정된 준 비틀림은 엄밀하게 정의되었으며, 전개의 고차항을 표현하는 데 필수적인 구성 요소임을 입증하였다.
• 분수 차분 브라운 운동의 이차형식에 대해서는 랜덤 기호가 명시적으로 특정되었으며, 이는 전개의 구체적 적용을 가능하게 한다.
• 무작위 가중치를 가진 브라운 운동의 이차형식에 대해 고전적인 마팅게일 전개 결과를 재현하여 방법의 일관성을 확인하였다.
• 기본 변수 $X_n$ 이 생략된 경우에도 조건 [D] 하에서 전개는 여전히 타당하며, 이에 따라 유도된 밀도 $\hat{p}_n(z)$ 는 $\mathbb{E}[f(Z_n)]$ 의 타당한 근사로 기능한다.