[논문 리뷰] Asymptotic flatness at null infinity in higher dimensional gravity

Stefan Hollands, Akihiro Ishibashi|ArXiv.org|2003. 11. 19.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 3인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 d > 4인 짝수 차원 시공간에 대해, conformal infinity 방법을 사용하여 null 무한대에서의 점점 가까이 다가오는 평탄성의 기하학적 정의를 제안한다. 이는 점점 가까이 다가오는 시간 이동에 대해 해밀토니안 생성자를 유도하며, 높은 차원에서 명백히 양수인 Bondi 에너지를 정의한다. 이는 4차원 개념을 일반화한 것으로, 에너지 유량이 항상 양수임을 보장하며, 중력 편미분의 감쇠 행동이 다를 뿐만 아니라 공식이 4차원의 경우와 질적으로 다름을 보인다.

ABSTRACT

We give a geometrical definition of the asymptotic flatness at null infinity in spacetimes of even dimension $d$ greater than 4 within the framework of conformal infinity. Our definition is shown to be stable against perturbations to linear order. We also show that our definition is stringent enough to allow one to define the total energy of the system viewed from null infinity as the generator conjugate to an asymptotic time translation. We derive an expression for the generator conjugate within the Hamiltonian framework, and propose to take this notion of energy as the natural generalisation of the Bondi energy to higher dimensions. Our definitions of asymptotic flatness and the Bondi energy formula differ qualitatively from the corresponding definitions in $d=4$; although the asymptotic structure of null infinity in higher dimensions parallels that in 4-dimensions in some ways, the latter seems to be a rather special case on the whole compared to general $d>4$. Our definitions and constructions do not work in odd spacetime dimensions, essentially because the unphysical metric seems to have insufficient regularity properties at null infinity in that case.

연구 동기 및 목표

• d > 4인 짝수 차원 시공간에서 conformal infinity 방법을 사용하여 null 무한대에서의 점점 가까이 다가오는 평탄성을 정의한다.
• 정의가 선형 편미분에 대해 안정되어 있음을 보장한다.
• 점점 가까이 다가오는 시간 이동에 대해 해밀토니안 생성자를 구성함으로써 높은 차원에서의 총 에너지(즉, Bondi 에너지)를 정의할 수 있도록 한다.
• 4차원 Bondi 에너지 개념을 d > 4로 일반화하며, 감쇠 행동과 구조적 측면에서의 질적 차이를 보여준다.
• 고차원에서 중력파에 대한 명백히 양수인 에너지 유량을 해밀토니안 방법을 통해 확립한다.

제안 방법

• 시공간의 conformal compactification을 사용하여, null 무한대를 유한한 경계로 가져오기 위해 비물리적 메트릭 g_ab = Ω² g̃_ab 를 도입한다.
• 비물리적 메트릭과 그 도함수에 감쇠 조건을 적용하며, 특히 n_a n^a = O(Ω^{(d+2)/2}) 및 ∇_a n_b = O(Ω^{(d-2)/2}) 를 통해 점점 가까이 다가오는 평탄성을 정의한다.
• Wald-Zoupas 해밀토니안 프레임워크를 적용하여 점점 가까이 다가오는 시간 이동 ξ^a 에 대해 공액 생성자 H_ξ 를 도출한다.
• Bondi 에너지 공식을 null 무한대의 횡단면을 따라 적분하여 유도하며, Ricci 텐서, Weyl 텐서, 뉴스 텐서 N_ab 를 포함한다.
• 배경 메트릭에 대한 조건을 부여함으로써 conformal 게이지를 고정하여 에너지 표현의 일관성과 유일성을 확보한다.
• 에너지 표현을 Weyl 텐서의 쿨롱 성분과 뉴스 텐서를 통한 방사성 기여로 표현하며, Ω^{-(d-4)} 에 대한 명시적 의존성을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d > 4인 짝수 차원 시공간에서 어떻게 일관적으로 null 무한대에서의 점점 가까이 다가오는 평탄성을 정의할 수 있는가?
• RQ2 Bondi 에너지의 올바른 일반화 형태는 무엇이며, 4차원의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 제안된 에너지 정의는 d > 4에서 선형 편미분에 대해 안정적인가?
• RQ4 해밀토니안 방법을 사용하여 고차원에서 중력파에 대한 명백히 양수인 에너지 유량을 유도할 수 있는가?
• RQ5 왜 d > 4의 정의와 공식은 4차원의 경우와 질적으로 다를까? 특히 중력장의 감쇠 행동 측면에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• 제안된 점점 가까이 다가오는 평탄성의 정의는 짝수 차원 d > 4에서 선형 편미분에 대해 안정되어 있다.
• d > 4에서의 Bondi 에너지는 Weyl 텐서와 뉴스 텐서를 통해 쿨롱 기여와 방사 기여를 명시적으로 분리하는 해밀토니안 생성자를 통해 주어진다.
• 향후 방향의 시간 이동에 대해 null 무한대를 통과하는 에너지 유량은 항상 양수이며, 물리적 일관성을 보장한다.
• d차원 Schwarzschild 시공간에서 Bondi 에너지는 c(d−2)A_{d−2}/(16πG) 로 줄어들며, 이는 ADM 질량과 일치하여 일관성을 확인한다.
• 공식은 4차원의 경우와 질적으로 다름을 보이며, Ricci 항이 S_ab 와 ρ_ab 의 조합으로 대체됨을 나타내어 고차원에서의 별개의 점점 가까이 다가오는 구조를 시사한다.
• 비물리적 메트릭이 null 무한대에서 충분한 정규성 없이 실패함에 따라, 이 방법은 홀수 시공간 차원에서는 실패한다.