[논문 리뷰] Asymptotic formulas for fundamental system of solutions of high order ordinary differential equations with coefficients -- distributions

А. М. Савчук, Андрей Андреевич Шкаликов|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 10.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분포계수를 가진 고차수 상미분방정식의 기본 해계에 대한 渐近 공식을 유도하며, 매개변수에 의존하는 잠재력이 있는 일계 시스템으로의 변환을 통해 이를 수행한다. 주요 기여는 계수의 적분 가능성과 미분 가능성 조건 하에서 스펙트럼 매개변수 λ → ∞ 일 때 해의 정밀한 渐近 행동을 유도하는 것으로, 고전적 결과를 연산자 구조 내 분포계수의 경우로 확장한다.

ABSTRACT

This paper deals with differential equations of the form $$ τ(y)- λ^{2m} \varrho(x) y = 0, \quad τ(y) =\sum_{k,\,s=0}^m(τ_{k,\,s}(x)y^{(m-k)}(x))^{(m-s)}, $$ where $n=2m\geqslant 2$, $λ$ is the large complex parameter, the positive functions\ $\varrho$\ and\ $τ_{0,0}$ \ belong to $W^{1,1}[0,1]$ and the complex valued coefficients $τ_{k,s}$ are such that the anti-derivatives $τ_{k,s}^{(-l)}$ belong to $L_2[0,1]$, provided that $l=\min\{k,s\}$. Here the anti-derivatives are understood in the sense of distributions. The above equation can be reduced to the $n$-th order system of differential equations of the form $$ \mathbf y'=λρ(x)\mathrm B\mathbf y+\mathrm A(x)\mathbf y+\mathrm C(x,λ)\mathbf y $$ with constant matrix $\mathrm B$ and summable matrices $\mathrm A(x)$ and $\mathrm C(x,λ)$. The first objective of the paper is obtain new results on asymptotic representation for the matrix of fundamental solutions of the last equation with respect to $λ o\infty$ in certain sectors of the complex plane. The second objective is to apply the obtained results for analyzing the asymptotic representation of fundamental solutions of the first scalar equation with distribution coefficients.

연구 동기 및 목표

• 분포계수 공간에 속하는 계수를 가진 고차수 상미분방정식의 기본 해에 대한 渐近 공식을 유도하기 위해.
• 계수들이 분포인 경우, 특히 스투름-리우빌 및 준미분연산자 맥락에서 고전적 상미분방정식의 渐近 분석을 확장하기 위해.
• 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에서 스펙트럼 매개변수 λ → ∞ 일 때 해의 행동을 분석하기 위해.
• 복소 λ-평면의 각 영역에서 기본 해계가 균일한 渐近 전개를 갖는 조건을 확립하기 위해.
• 정규 계수의 경우에 대한 결과를 특이(분포계수) 계수의 경우로 일반화하면서 핵심 스펙트럼 및 渐近 성질을 유지하기 위해.

제안 방법

• 2m차 방정식을 [0,1]에서 y′ = λV(x)y + A(x)y + C(x,λ)y 형태의 일계 시스템으로 변환하며, 여기서 V(x) = ρ(x)B 이고 B는 대각행렬이며 ρ ∈ L₁[0,1]이다.
• 변수변환 u(x) = W(x)y(x)를 통해 시스템을 대각행렬 항이 우세한 형태로 축소하여, 변환상수의 방법과 적분 표현을 통한 渐近 분석이 가능하도록 한다.
• 특히 r → ∞ 일 때 ∫₀ˣ e^{i r t} a(t) dt 를 추정하는 오scillatory 적분 및 스펙트럼 이론 기법을 적용하여 해의 행동을 제어한다.
• 계수와 그 도함수에 대한 L₁ 및 L₂ 추정을 사용하며, τ₀⁻¹/² ∈ L₂ 및 τₖ,ₛ⁽⁻ˡ⁾ ∈ L₂ (l = min{k,s}) 등의 조건을 포함하여 해의 존재성과 渐近 제어를 보장한다.
• 변환상수의 공식을 사용하여 기본 해행렬 Y(x,λ)의 적분 표현을 도출하고, 트레이스 및 로그 도함수의 논증을 통해 그 행렬식과 가역성을 분석한다.
• 대각행렬 B의 고유값과 관련된 해의 지수적 증가/감쇠를 분석하여, 각 영역 arg(λ) ∈ (α, β) 에서의 渐近 행동을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 매개변수 λ → ∞ 일 때, 계수가 분포에 속하는 고차수 상미분방정식의 기본 해는 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ2 복소 평면의 각 영역에서 기본 해행렬이 균일한 渐近 전개를 갖기 위한 계수에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ3 고전적 渐 asymptotic 공식이 정규 계수의 경우에 대해 유도된 바를, 준미분연산자 내에서 분포계수의 경우로 얼마나 넓히는가?
• RQ4 잠재력 행렬 V(x) = ρ(x)B의 구조는 해의 渐 asymptotic 행동에 어떤 영향을 미치는가, 특히 exp(λ b_j p(x)) 형태의 지수적 요소 측면에서?
• RQ5 계수와 그 도함수에 대한 L₁ 및 L₂ 적분 가능성 조건이 渐 asymptotic 공식의 타당성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 |λ| > λ₀ 및 x ∈ [0,1] 에서 기본 해행렬 Y(x,λ) 는 존재하고 가역적이며, det Y(x,λ) ≠ 0 이므로 잘 정의된 기본 해계를 보장한다.
• λ → ∞ 일 때, 해행렬 Y(x,λ) 는 exp(λB p(x)) 에 곱해진 보다 낮은 차수의 보정항 형태의 渐 asymptotic 전개를 갖는다. 여기서 p(x) = ∫₀ˣ ρ(t) dt 이고 B는 대각행렬이다.
• 渐近 전개의 오차항은 |λ| → ∞ 일 때 L₁ 노름에서 o(1) 으로 제어되며, 더 강한 조건 하에서는 O(|λ|⁻¹) 으로 개선되어 수렴 속도가 향상된다.
• 해의 渐 asymptotic 행동은 x ∈ [0,1] 및 임의의 ε > 0 에 대해 각 영역 arg(λ) ∈ (α + ε, β − ε) 에서 균일하며, 이는 이전 결과를 분포계수의 경우로 확장한다.
• τ₀⁻¹/² ∈ L₂ 및 τₖ,ₛ⁽⁻ˡ⁾ ∈ L₂ (l = min{k,s}) 조건은 기본 해계의 존재성과 渐 asymptotic 제어를 보장하는 데 충분하다.
• 결과는 분포계수를 가진 방정식에 대해 고전적 Birkhoff 및 Tamarkin 유형의 渐 asymptotic을 일반화하며, −y′′ + qy = λ²ϱy (q ∈ W⁻¹₂[0,1]) 와 같은 경우를 포함하고, 특이한 잠재력이 있는 준미분연산자로까지 확장된다.