[논문 리뷰] Asymptotic Intermediate Efficiency of the Chi-square and Likelihood Ratio Goodness of Fit Tests

Sherzod M. Mirakhmedov|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 13.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 관측 수와 군 수가 비례적으로 증가하는 조건에서, 증가하는 군 수를 가진 군집화된 자료에 대해 국소 대립가설 하에서 카이제곱검정과 최대우도비검정의 점근적 중간 효율성(AIE)을 분석한다. 정규 조건 하에서 두 검정이 동일한 AIE를 달성함을 입증하여, 관측 수와 군 수가 비례적으로 증가함에 따라 국소 이탈을 탐지하는 데 있어서 두 검정이 동등함을 확인한다.

ABSTRACT

The problem of testing the goodness of fit of an absolutely continuous distribution to a set of observations grouped into equal probability intervals, against to a family of sequences of alternatives approaching the hypothesis is considered. We focus our study to the asymptotic intermediate efficiency (AIE) due to Inglot (1999) of the chi-squared and log-likelihood ratio tests. It is assumed that the number of groups increases together with the number of observations.

연구 동기 및 목표

• 카이제곱검정과 최대우도비검정의 적합도검정에서의 점근적 중간효율성(AIE)을 평가하는 것.
• 표본 크기와 비례하여 증가하는 군의 수가 증가할 때 이 두 검정의 행동을 검토하는 것.
• 귀무가설에 수렴하는 국소 대립가설의 수열 하에서 두 검정의 상대적 성능을 평가하는 것.
• 두 검정이 동일한 AIE를 달성하는 조건을 확립하여, 국소 이탈을 탐지하는 데 있어서의 점근적 동등성을 확인하는 것.

제안 방법

• 분석은 인글로트(1999)가 정의한 점근적 중간효율성(AIE) 프레임워크를 기반으로 하며, 국소 대립가설을 중심으로 한다.
• 자료는 동일한 확률 간격으로 군집화되어, 기대 세포 빈도가 표본 크기와 함께 증가하도록 보장된다.
• 군의 수가 표본 크기와 함께 증가하여, n과 k(군 수)가 모두 무한으로 향하는 균형 잇는 점근적 체계를 유지한다.
• 국소 대립가설 하에서 검정 통계량의 점근적 분포는 국소 점근적 정규성과 스코어 기반 근사법을 사용하여 유도된다.
• AIE는 특정 정규화 하에서 검정의 국소 점근적 검정력과 최적 검정의 검정력 비율의 극한으로 계산된다.
• 국소 대립가설 하에서 두 검정의 스코어 통계량을 점근적 전개 및 비교함으로써 두 검정의 AIE 동등성이 입증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 대립가설 하에서 카이제곱검정과 최대우도비검정의 점근적 중간효율성(AIE)은 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 관측 수와 군 수가 증가함에 따라 두 검정의 AIE는 어떤 점근적 행동을 보이는가?
• RQ3 카이제양검정과 최대우도비검정이 동일한 AIE를 달성하는 데 필요한 정규 조건는 무엇인가?
• RQ4 자료를 동일한 확률 간격으로 군집화하는 것이 두 검정 간의 점근적 동등성에 영향을 미치는가?
• RQ5 검정 통계량의 선택은 적합도 검정 환경에서 국소 이탈을 탐지하는 데 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 카이제곱검정과 최대우도비검정은 동일한 정규 조건 하에서 동일한 점근적 중간효율성(AIE)을 달성한다.
• 관측 수와 군 수가 비례적으로 증가함에 따라 두 검정의 AIE는 동일한 극한으로 수렴한다.
• 자료가 동일한 확률 간격으로 군집화된 경우에도 AIE의 동등성이 유지되어 점근적 효율성이 보존된다.
• 국소 대립가설 하에서 두 검정 통계량의 점근적 분포는 극한에서 동일한 분산을 가진 정규분포로 수렴한다.
• 결과적으로, 고려된 점근적 체계 하에서 최대우도비검정이 카이제곱검정보다 AIE 측면에서 우세하지 않음을 확인한다.
• 이러한 발견은 대규모 군집화된 자료 환경에서 카이제곱검정이 최대우도비검정과 동등한 유효성과 효율성을 지닌 타당한 대안임을 뒷받침한다.