[논문 리뷰] Asymptotic K-theory for groups acting on $ ildeA_2$ buildings

Guyan Robertson, Tim Steger|arXiv (Cornell University)|2000. 11. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자유롭게 작용하는 토르션 없는 격자 $\Gamma$에 의해 $\widetilde{A}_2$ 빌딩 위에 작용하는 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ 형태의 교차곱 C*-대수의 K-이론을 계산한다. 이는 고차수 Cuntz-Krieger 대수의 구조를 이용하여 수행되며, $q \not\equiv 1 \pmod{3}$ 이면 $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 가 차수 $q-1$ 의 토피컬 원소임을 보이고, $q \equiv 1 \pmod{3}$ 이면 차수 $(q-1)/3$ 임을 보여, 이러한 대수에 대한 완전한 분류 불변량을 제공한다.

ABSTRACT

Let $Γ$ be a torsion free lattice in $G=\PGL(3,{\mathbb F})$ where ${\mathbb F}$ is a nonarchimedean local field. Then $Γ$ acts freely on the affine Bruhat-Tits building ${\mathcal B}$ of $G$ and there is an induced action on the boundary $Ω$ of ${\mathcal B}$. The crossed product $C^*$-algebra ${\mathcal A}(Γ)=C(Ω) times Γ$ depends only on $Γ$ and is classified by its K-theory. This article shows how to compute the K-theory of ${\mathcal A}(Γ)$ and of the larger class of rank two Cuntz-Krieger algebras.

연구 동기 및 목표

• 자유롭게 작용하는 토르션 없는 격자 $\Gamma$에 대해 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ 의 교차곱 $C^*$-대수의 K-이론을 계산하는 것.
• 특히 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 내에서 항등원의 클래스 $[\mathbf{1}]$ 의 차수에 초점을 맞추어 이러한 대수를 K-이론을 통해 분류하는 것.
• $C^*_r(\Gamma)$ 가 동일한 K-이론을 가질 수 있음에도 불구하고, $\mathcal{A}(\Gamma)$ 의 K-이론이 비동형인 격자들 사이를 구별할 수 있음을 보여주는 것.
• 특히 $q \neq 2,4$ 이면 $K_0$ 에서의 토피컬 원소로 인해 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 가 어떤 랭크 1 Cuntz-Krieger 대수와도 동형이 아니라는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 고차수 Cuntz-Krieger 대수의 성질을 이용하여 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 가 순수하게 무한하고 단순하며, 핵심적임을 이용하고, $\mathbb{Z}^2$ 에 의한 AF 대수의 교차곱과 안정적으로 동형임을 이용한다.
• 문헌 [RS2] 의 구조 이론을 적용하여 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 를 $\mathcal{F} \rtimes \mathbb{Z}^2$ 와 안정적으로 동형으로 표현한다. 여기서 $\mathcal{F} = \varinjlim \mathcal{C}^{(m)}$ 이고, $\mathcal{C}^{(m)} \cong \bigoplus_{a \in A} \mathcal{K}(\mathcal{H}_a)$ 이다.
• 빌딩 기하학을 기록하는 인cidense 행렬 $M_1, M_2$ 를 이용하여 행렬 $\begin{smallmatrix} I - M_1, & I - M_2 \end{smallmatrix}$ 의 코어널을 통해 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 를 계산한다.
• $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 를 코어널 속에서 $\sum_{a \in A} e_a$ 의 이미지로 식별하고, $\mathbb{Z}/(q^2 - 1)\mathbb{Z}$ 로의 호모모르피즘을 통해 그 차수를 분석한다.
• 인cidense 관계의 조합적 수를 세는 기법을 사용한다: 각 $[\mathbf{1}_a]$ 는 $q^2$ 개의 항목 $[\mathbf{1}_b]$ 의 합으로 표현되며, 이에 따라 $[\mathbf{1}] = q^2 [\mathbf{1}]$ 이고, 따라서 $(q^2 - 1)[\mathbf{1}] = 0$ 이다.
• 최대공약수 $\gcd(q^2 - 1, 3(q+1))$ 를 계산하여 $[\mathbf{1}]$ 의 차수를 분석한다. 이는 $q \bmod 3$ 에 따라 $q-1$ 또는 $(q-1)/3$ 이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\Gamma$ 가 $\widetilde{A}_2$ 빌딩 위에 자유롭게 작용하는 토르션 없는 격자일 때, 교차곱 $C^*$-대수 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ 의 K-이론은 무엇인가요?
• RQ2 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 내에서 클래스 $[\mathbf{1}]$ 의 차수는 빌딩의 순서 $q$ 에 따라 어떻게 달라지나요?
• RQ3 감소된 군 $C^*$-대수 $C^*_r(\Gamma)$ 가 동일한 K-이론을 가질 수 있음에도 불구하고, $\mathcal{A}(\Gamma)$ 의 K-이론이 비동형인 격자 $\Gamma$ 를 구별할 수 있나요?
• RQ4 만약 $q \neq 2,4$ 이면 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 는 랭크 1 Cuntz-Krieger 대수와 동형일 수 있나요?
• RQ5 $\Gamma$ 가 빌딩의 순서 $q$ 를 가진 $\widetilde{A}_2$ 빌딩 위에 작용할 때, $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 내에서 항등원 클래스 $[\mathbf{1}]$ 의 정확한 차수는 무엇입니까?

주요 결과

• $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 는 $(q^2 - 1)[\mathbf{1}] = 0$ 을 만족하며, 이는 토피컬 원소임을 보여준다.
• $q \not\equiv 1 \pmod{3}$ 이면 $[\mathbf{1}]$ 의 차수는 정확히 $q - 1$ 이고, $q \equiv 1 \pmod{3}$ 이면 정확히 $(q - 1)/3$ 이며, 이는 계산적 증거와 구조적 분석에 기반한다.
• $q = 2$ 이면 $[\mathbf{1}] = 0$ 이고, $q = 3$ 이면 $[\mathbf{1}]$ 은 차수 2 를 가진다.
• $q \neq 2, 4$ 이면 $K_0$ 에서의 토피컬 원소로 인해 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 는 어떤 랭크 1 Cuntz-Krieger 대수와도 동형이 아니다.
• $\mathrm{PGL}(3, \mathbb{Q}_2)$ 내에서 비동형인 두 토르션 없는 격자에 대해, 그 감소된 군 $C^*$-대수의 K-이론이 동일한 반면, $\mathcal{A}(\Gamma)$ 의 K-이론은 그들을 구별할 수 있다.
• $q = 2$ 에 대해 B.3 군은 여덟 개의 이러한 군들 중 유일하게 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 가 토피컬 자유임을 보이며, 이러한 군의 희귀성을 시사한다.