[논문 리뷰] Asymptotic Normality of Random Sums of m-dependent Random Variables

Ümi̇t Işlak|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 10.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정 stationarity m-dependent 랜덤 변수들의 합에 대해 중심극한정리(Central Limit Theorem)를 수립하며, Chen과 Shao의 i.i.d. 결과를 일반화한다. 세 번째 모멘트 조건 하에서 $\sum_{i=1}^{N_n} X_i$ 의 점근적 정규성을 증명하며, 분산은 $n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2)$ 로 스케일링되며, 여기서 $N_n$ 은 과정과 독립인 랜덤 인덱스이다.

ABSTRACT

We prove a central limit theorem for random sums of the form $\sum_{i=1}^{N_n} X_i$, where $\{X_i\}_{i \geq 1}$ is a stationary $m-$dependent process and $N_n$ is a random index independent of $\{X_i\}_{i\geq 1}$. Our proof is a generalization of Chen and Shao's result for i.i.d. case and consequently we recover their result. Also a variation of a recent result of Shang on $m-$dependent sequences is obtained as a corollary. Examples on moving averages and descent processes are provided, and possible applications on non-parametric statistics are discussed.

연구 동기 및 목표

• i.i.d. 랜덤 합에 대한 중심극한정리를 정 stationarity m-의존 과정의 경우로 확장하기.
• Chen와 Shao의 i.i.d. 랜덤 합 결과를 m-의존성 구조를 가진 의존 설정으로 일반화하기.
• 특히 [13]에서의 이전 결과들을 복원하고 개선하기.
• 약한 의존성 하에서 랜덤 합의 분산 공식과 점근적 정규성을 제공하기.
• 랜덤 표본 크기를 포함한 비모수 통계에서의 응용 탐색하기.

제안 방법

• i.i.d. 경우에 대한 Chen과 Shao의 증명 기법을 m-의존 과정으로 일반화한다.
• Wald의 항등식을 사용하여 랜덤 합의 기댓값을 계산한다: $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{N_n} X_i] = n\nu\mu$.
• m-의존 수열의 공분산 구조를 이용하여 $\mathrm{Var}(\sum_{i=1}^{N_n} X_i)$ 의 정확한 분산 공식을 유도한다.
• 정규화된 표준편차가 점근적 표준편차로 거의 확실히 수렴함을 보여 Slutzky의 정리를 적용한다.
• 유한 범위의 의존성을 분산 계산에서 다루기 위해 지표 함수 $\Gamma_{k,j} = \mathbbm{1}(k \geq j+1)$ 를 사용한다.
• 중심극한정리 증명에서 오차 항을 제어하기 위해 세 번째 모멘트 조건 $\mathbb{E}|X_1|^3 < \infty$ 와 $\mathbb{E}|Y_1|^3 < \infty$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인덱스 $N_n$ 이 랜덤하고 독립일 때, m-의존 랜덤 변수들의 합에 대해 중심극한정리가 성립하는가?
• RQ2 $\sum_{i=1}^{N_n} X_i$ 의 점근적 분산은 $X_i$ 들의 의존성 구조에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 m=0 일 때, i.i.d. 중심극한정리가 랜덤 합에 대해 특수한 경우로 복원되는가?
• RQ4 분산 표현식에서 나머지 항 $\alpha(m)/n$ 의 역할은 무엇이며, 점진적으로 소멸하는가?
• RQ5 결과를 약한 의존성 과정으로 확장하거나 비모수 통계 추론에 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 정규화된 합 $\frac{\sum_{i=1}^{N_n} X_i - n\mu\nu}{\sqrt{n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2)}}$ 는 $n \to \infty$ 일 때 표준 정규 랜덤 변수로 분포 수렴한다.
• 합의 분산은 $n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2) + \alpha(m)$ 이며, $\alpha(m)/n \to 0$ 이다. $n \to \infty$ 일 때 성립한다.
• m=0 (i.i.d. 경우) 일 때, 결과는 고전적인 랜덤 합 중심극한정리로 축소되며, Chen과 Shao의 결과를 복원한다.
• 정수 합 $\sum_{i=1}^N X_i$ 의 분산 공식은 $N(\sigma^2 + 2\sum_{j=1}^m a_j \Gamma_{N,j}) - 2\sum_{j=1}^m j a_j \Gamma_{N,j}$ 로 유도된다.
• 나머지 항 $\alpha(m)$ 은 유계이며, $n$ 으로 나눈 후 점진적으로 소멸하므로 주된 분산 항이 지배한다.
• 예시로 이동 평균 과정과 내림내림 과정이 포함되어 있으며, 이는 랜덤 표본 크기를 포함한 비모수 통계에서의 응용 가능성을 시사한다.