[논문 리뷰] Asymptotic of spectral covariance for linear random fields with infinite variance

Julius Damarackas, Vygantas Paulauskas|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 15.

Probability and Risk Models참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한 분산을 가진 이차원 선형 랜덤 필드에서 안정적 창발을 갖는 경우의 스펙트럼 공분산의 점근적 행동을 조사한다. $k_1 \to \infty$, $k_2 \to -\infty$ 일 때 $ρ(X_{(0,0)},X_{(k_1,k_2)})$의 극한 분포를 도출하며, 이는 $n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})$와 같이 척도가 붙으며, 극한은 스펙트럼 측도와 필터 계수에 따라 달라진다.

ABSTRACT

In the paper we continue to investigate measures of dependence for random variables with infinite variance. The asymptotic of spectral covariance $ρ(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ for linear random field $X_{k,l}=\sum_{i,j=0}^\infty c_{i,j}ε_{k-i, l-j}, \ (k, l)\in \mathbb{Z}^2,$ with special form of filter $\{c_{i,j}\}$ and with innovations $\{ ε_{i, j}\}$ having infinite second moment is investigated. Different behavior of $ρ(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ is obtained in the cases $n o \infty, \ m o \infty$ and $n o \infty, \ m o -\infty$, the latter case being much more complicated.

연구 동기 및 목표

• 이차 모멘트가 무한한 선형 랜덤 필드로 스펙트럼 공분산 이론을 확장하는 것.
• 이차 모멘트가 존재하지 않을 경우 스펙트럼 공분산을 의존도 측도로 사용하여 이러한 필드의 의존 구조를 분석하는 것.
• 한 인덱스가 무한으로, 다른 인덱스가 음의 무한으로 갈 때 스펙트럼 공분산의 점근적 행동을 조사하는 것. 이는 표준 이元분포의 경우보다 더 복잡한 케이스이다.
• 특히 안정적 창발을 가진 경우에 필터 및 창발 구조에 따라 스펙트럼 공분산의 척도 극한을 설정하는 것.
• 스펙트럼 측도와 특성 함수를 사용하여 α-안정성 노이즈에 의해 구동되는 선형 랜덤 필드에서 의존도의 엄밀한 점근적 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• 단위 원 위의 스펙트럼 측도 Γ를 통해 스펙트럼 공분산을 정의하는 데 기초가 되는 대칭 α-안정성(SαS) 랜덤 벡터를 사용한다.
• 스펙트럼 공분산 $\rho(X_1,X_2) = \int_{\mathbb{S}^1} s_1 s_2 \Gamma(ds)$ 와 이원분포 SαS 벡터에 대한 스펙트럼 상관 계수의 정의를 적용한다.
• 한계 분포에서 유도된 스펙트럼 측도 Γ를 사용하여, 도메인의 도래 조건을 통해 비정규, 무한 분산 랜덤 벡터로 스펙트럼 공분산의 개념을 확장한다.
• 무거운 尾를 가진 창발 $\varepsilon_{i,j}$ 를 갖는 선형 랜덤 필드 $X_{k,l} = \sum_{i,j=0}^\infty c_{i,j} \varepsilon_{k-i,l-j}$ 를 분석한다.
• 필터 계수 $c_{i,j}$ 와 스펙트럼 측도를 포함하는 적분의 점근적 분석을 수행하며, 특히 $n \to \infty$, $m_n \to \infty$ 일 때의 행동에 집중한다. $k_1 = n$, $k_2 = -m_n$ 인 경우를 고려한다.
• 적분에 대한 경계를 $I_{1,j}$ 와 $I_{2,j}$ 에 적용하고, 로그 척도를 사용하여 $\rho(n, -m_n)$ 의 점근적 행동을 도출한다. 천천히 변화하는 함수와 스펙트럼 측도 성질을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 분산을 가진 이차원 선형 랜덤 필드에서 $k_1 \to \infty$ 이고 $k_2 \to -\infty$ 일 때 스펙트럼 공분산 $\rho(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ 는 어떻게 점근적으로 행동하는가?
• RQ2 이러한 필드에서 스펙트럼 공분산의 척도 비율은 무엇이며, 필터 계수와 스펙트럼 측도에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 $k_1, k_2 \to \infty$ 와 $k_1 \to \infty, k_2 \to -\infty$ 의 경우 점근적 행동는 어떻게 다를까?
• RQ4 도메인의 도래 조건에서 유도된 스펙트럼 측도를 사용하여 비정규, 무한 분산 선형 필드에서 스펙트럼 공분산을 일관되게 정의하고 분석할 수 있는가?
• RQ5 천천히 변화하는 함수 $L(x)$ 와 스펙트럼 측도 $\Gamma$ 는 공분산의 점근적 척도에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 무한 분산 창발을 갖는 선형 필드에서 스펙트럼 공분산 $\rho(n, -m_n)$ 는 $n \to \infty$, $m_n \to \infty$ 일 때 점근적으로 $n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})$ 와 같이 척도가 붙는다.
• 정규화된 스펙트럼 공분산 $\rho(n, -m_n) / \left(n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})\right)$ 의 극한은 $\sum_{j=0}^{\infty} w_{(\infty,j)} (1+j)^{-\beta_2}$ 로 수렴하며, 이는 필터 계수와 스펙트럼 측도에 의해 결정되는 양이다.
• 인덱스 $k_1 \to \infty$, $k_2 \to -\infty$ 인 경우의 점근적 행동은 양의 제1사분면보다 훨씬 더 복잡하며, 진동 및 로그 항의 정밀한 분석이 필요하다.
• 이차 모멘트가 존재하지 않을 경우에도 도메인의 도래 조건에서 유도된 스펙트럼 측도 $\Gamma$ 를 통해 비정규, 무한 분산 필드의 스펙트럼 공분산은 잘 정의된다.
• 분석 결과는 스펙트럼 공분산가 무거운 尾를 가진 선형 필드에서 장거리 의존도를 잘 포착함을 확인하며, 극한은 필터 계수의 감쇠율 $\beta_1$, $\beta_2$ 에 따라 달라진다.
• 적분에 대한 $I_{1,j}$ 와 $I_{2,j}$ 의 경계를 통해 수렴 속도가 확립되며, 주요 기여는 $I_{1,j}$ 항과 그 로그 척도에서 비롯된다.