[논문 리뷰] Asymptotic of the distribution and harmonic moments for a supercritical branching process in a random environment

Ion Grama, Quansheng Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 14.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 초임계 브라운브리지 과정에서 환경이 랜덤한 상황에서 유한 시간 전이 확률 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$의 정확한 渐近 감쇠 속도를 규명한다. 첫 번째 세대에서 개인이 멸종되지 않는 조건 하에, $\mathbb{P}(Z_n = j) \sim \gamma^n q_j$ 형태의 명시적 동치를 도출하며, 마팅게일 극한 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$의 조화 모멘트 존재성을 기능적 부등식 접근법을 통해 임계 값을 규명한다.

ABSTRACT

Let $(Z_n)$ be a supercritical branching process in an independent and identically distributed random environment $ξ$. We show the exact decay rate of the probability $\mathbb{P}(Z_n=j | Z_0 = k)$ as $n o \infty$, for each $j \geq k,$ assuming that $\mathbb{P} (Z_1 = 0) =0$. We also determine the critical value for the existence of harmonic moments of the random variable $W=\lim_{n o\infty}\frac{Z_n}{\mathbb E (Z_n|ξ)}$ under a simple moment condition.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 환경에서의 초임계 브라운브리지 과정에서 $j \geq k$에 대해 $n \to \infty$일 때 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$의 정밀한 渐近적 행동을 규명하는 것.
• 이전의 로그 대칭 확률 결과를 정확한 渐近적 동치로 확장하여 [9] 및 [10]의 결과를 향상시키는 것.
• 평균 자식 수에 대한 최소한의 모멘트 조건 하에, 마팅게일 극한 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$의 조화 모멘트 $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ 존재를 위한 임계 값을 규명하는 것.
• 생성함수 $Q(t) = \sum_{j=1}^\infty q_j t^j$가 만족하는 함수방정식 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$를 특성화하고, 수렴 반경이 1임을 규명하는 것.
• 생성함수 기법과 지배 수렴 정리에 의해, 渐近적 확률을 정의하는 재귀관계의 해의 유일성을 증명하는 것.

제안 방법

• 계수 $q_j$에 대한 재귀적 방정식계를 사용하여 $\mathbb{P}(Z_n = j) \sim \gamma^n q_j$의 渐近적 동치를 유도하며, 여기서 $\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1)$이다.
• $t \in [0,1)$에서 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$를 만족하는 함수방정식의 유일한 해로 생성함수 $Q(t)$를 특성화한다. 여기서 $f_0(t)$는 환경 조건 하에서 $Z_1$의 생성함수이다.
• 기능적 부등식을 통해 조화 모멘트의 임계 값을 규명한다: $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$이기 위한 필요충분조건은 $\mathbb{E}[p_1(\xi_0) m_0^a] < 1$이며, 여기서 $m_0 = \mathbb{E}_\xi[Z_1]$이다.
• $k$명의 조상으로부터 시작하는 과정의 재귀적 분해를 이용하여 라플라스 변환 부등식 $\phi(t) \leq q \mathbb{E}[\phi(Yt)] + C t^{-a}$를 유도함으로써 감쇠 속도 분석을 가능하게 한다.
• 해의 유일성 증명에서 복합함수의 고차도수 도함수를 계산하기 위해 Faà di Bruno의 공식을 적용한다.
• 르베그 지배 수렴 정리를 사용하여 $\gamma_k^{-n} \sum_{j=k+1}^\infty |q_{k,j} - \hat{q}_{k,j}| G_{j,n}(t) \to 0$임을 보여, 생성함수 $Q_k(t)$의 해의 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 환경에서의 초임계 브라운브리지 과정에서 $\mathbb{P}(Z_1 = 0) = 0$ 조건 하에 $n \to \infty$일 때 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$의 정확한 渐近 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ2 한계 분포의 생성함수 $Q(t)$는 어떤 기능적 방정식을 만족하며, 그 수렴 반경은 얼마인가?
• RQ3 마팅게일 극한 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$에 대해 $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$가 성립하기 위한 $a > 0$의 임계 값은 무엇인가?
• RQ4 유한성 조건보다 더 약한 조건, 예를 들어 $\mathbb{E}[m_0^p] < \infty$ for some $p > a$ 조건 하에 조화 모멘트 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 渐近적 확률 재귀관계의 해는 유일한가? 그리고 생성함수와 수렴 정리 기법을 통해 이를 어떻게 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 전이 확률은 $n \to \infty$일 때 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = 1) \sim \gamma^n q_j$를 만족하며, 여기서 $\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1) > 0$이고, $q_j \in (0, \infty)$는 재귀 체계에 의해 유일하게 결정된다.
• 생성함수 $Q(t) = \sum_{j=1}^\infty q_j t^j$는 수렴 반경 1을 가지며, $t \in [0,1)$에서 기능적 방정식 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$를 만족한다.
• 조화 모멘트 $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ 존재를 위한 임계 값은 $\mathbb{E}[p_1(\xi_0) m_0^a] < 1$로 특성화되며, 이는 $\mathbb{E}[m_0^p] < \infty$ for some $p > a$라는 조건 하에, 유한성 조건보다 더 약한 조건이다.
• 초기 조상 수가 $k$인 경우에 대한 재귀관계의 해 $Q_k(t)$는 $[0,1)$에서 유일하며, 생성함수 차이에 대한 지배 및 수렴 논증을 통해 증명된다.
• 라플라스 변환 $\phi(t) = \mathbb{E}[e^{-tW}]$의 감쇠 속도는 재귀적 기능적 부등식을 통해 분석되며, 이는 임계 모멘트 임계값 유도에 기여한다.
• 해의 유일성 증명은 복합함수의 도함수 계산을 위해 Faà di Bruno의 공식을 활용하고, 생성함수를 포함하는 급수의 극한을 제어하기 위해 르베그 지배 수렴 정리를 적용한다.