[논문 리뷰] Asymptotic Optimal Strategy for Portfolio Optimization in a Slowly Varying Stochastic Environment

Jean‐Pierre Fouque, Ruimeng Hu|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자산 수익률과 변동성의 변화가 느린 요인에 의해 영향을 받는 천천히 변화하는 확률적 환경에서 포트폴리오 최적화를 위한 엄밀한 점근적 근사법을 개발한다. 자산 수익률과 변동성은 느리게 변화하는 요인에 의존한다. 연구는 이전에 히우리스틱 방식으로 유도된 제로차수 부분최적 전략이 미묘한 정규성 조건 하에서 점근적으로 최적임을 증명하며, 수렴 속도는 변형 스케일링에 따라 달라진다.

ABSTRACT

In this paper, we study the portfolio optimization problem with general utility functions and when the return and volatility of underlying asset are slowly varying. An asymptotic optimal strategy is provided within a specific class of admissible controls under this problem setup. Specifically, we first establish a rigorous first order approximation of the value function associated to a fixed zeroth order suboptimal trading strategy, which is given by the heuristic argument in [J.-P. Fouque, R. Sircar and T. Zariphopoulou, {\it Mathematical Finance}, 2016]. Then, we show that this zeroth order suboptimal strategy is asymptotically optimal in a specific family of admissible trading strategies. Finally, we show that our assumptions are satisfied by a particular fully solvable model.

연구 동기 및 목표

• 천천히 변화하는 확률적 환경 하에서 포트폴리오 최적화의 가치 함수에 대한 엄밀한 제1차 근사법을 수립하는 것.
• 이전에 히우리스틱으로 유도된 제로차수 부분최적 전략이 특정 적합 제어 클래스 내에서 점근적으로 최적임을 증명하는 것.
• 완전히 해석 가능한 모형에서 가정 조건이 성립함을 보여줌으로써 점근적 프레임워크를 검증하는 것.
• 느린 요인의 다양한 스케일링 체제 하에서 근사의 수렴 속도를 분석하는 것.

제안 방법

• 요인의 느린 성질을 측정하는 $ \delta $ 를 사용하여 가치 함수를 $ V^\delta = v^{(0)} + \sqrt{\delta}v^{(1)} + \delta v^{(2)} + \cdots $ 로 정규화된 변형 이론을 적용한다.
• 느린 요인의 동역학 하에서 점근적 방정식 (2.16)과 (2.18)을 통해 주요 가치 함수 $ v^{(0)} $ 와 제1차 보정항 $ v^{(1)} $ 를 유도한다.
• 주요 가치 함수에 기반하여 제로차수 부분최적 전략 $ \pi^{(0)} = -\frac{\lambda(z)}{\sigma(z)} \frac{v^{(0)}_x}{v^{(0)}_{xx}} $ 를 정의한다.
• 주요 순간의 유계성 조건 하에서 $ \pi^{(0)} $ 를 사용한 기대 효용이 진정 최적 가치로 $ O(\delta^{\alpha}) $ 의 속도로 수렴함을 증명함으로써 점근적 최적성을 확립한다. $ \alpha > 0 $.
• 가역 전략의 가족 $ \pi = \widetilde{\pi}^0 + \delta^\alpha \widetilde{\pi}^1 $ 을 도입하고, $ v^{(0)}, v^{(1)} $ 와 그 도함수를 포함하는 순간의 균일 유계성 조건을 유도한다 (가정 C.1).
• 가정 조건이 만족됨을 확인할 수 있는 완전히 해석 가능한 모형에 이 프레임워크를 적용하여 점근적 근사의 타당성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Fouque 등 (2016)에서 유도된 히우리스틱 제로차수 전략이 천천히 변화하는 확률적 환경에서 점근적으로 최적임을 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ2 제로차수 전략의 점근적 최적성을 보장하기 위해 필요한 계수 및 순간 조건는 무엇인가?
• RQ3 근사의 수렴 속도는 스케일링 파라미터 $ \delta $ 와 변형 차수 $ \alpha $ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 제로차수 전략이 점근적으로 최적임이 보장되는 적합 전략의 범위는 무엇인가?
• RQ5 완전히 해석 가능한 모형에서 점근적 프레임워크가 성립하는가?

주요 결과

• 제로차수 부분최적 전략 $ \pi^{(0)} $ 는 전략 클래스 $ \widetilde{\pi}^0 + \delta^\alpha \widetilde{\pi}^1 $ 내에서 점근적으로 최적이며, 수렴 속도는 $ \alpha > 1/4 $ 일 때 $ O(\delta^\alpha) $ 이다.
• $ 0 < \alpha < 1/4 $ 일 경우, 수렴 속도는 $ \widetilde{v}^{2\alpha} $ 를 포함하는 수정된 순간 유계성 조건 하에서 유지된다. 이는 가치 함수 전개에서 $ \delta^{2\alpha} $ 의 계수이다.
• 임계 경우 $ \alpha = 1/4 $ 에서는 수렴 속도가 $ O(\delta^{1/4}) $ 이며, 제1차 보정항 $ \widetilde{v}^{(1)} $ 는 선형 편미분방정식 (4.10)을 만족한다.
• 가정 C.1 에서 제시된 조건들은 핵심 순간 항목의 균일 유계성을 보장하며, 이는 전략의 점근적 최적성 증명에 필수적이다.
• 조건이 만족되는 완전히 해석 가능한 모형에 적용하여 이론적 수렴 속도가 확인되었으며, 이는 프레임워크의 타당성을 뒷받침한다.
• $ v^{(0)} $ 와 $ v^{(1)} $ 를 기반으로 구성된 가치 함수 근사 $ \widetilde{V}^\delta $ 는 제시된 유계성 조건 하에서 정확도 $ O(\delta^{1/2}) $ 를 달성한다.