[논문 리뷰] Asymptotic Preserving and Low Mach Number Accurate IMEX Finite Volume Schemes for the Euler Equations

K. R. Arun, Saurav Samantaray|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 03.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 압축성 유동방정식에 대해 제2차 점근적 보존성 및 저마하수준 정확도를 갖는 IMEX 유한체적 스킴을 제시한다. 강성 있는(압력 관련) 및 비강성 있는(속도 관련) 유량을 분리하고, 시간에 따라 각각 암시적, 수치적으로 처리하며, 공간적으로 중심 유량과 차분을 사용함으로써, 이 스킴은 마하수에 관계없이 정확성을 유지하고, 영 마하수 한계에서 점근적 정확성을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, the design and analysis of a class of second order accurate IMEX finite volume schemes for the compressible Euler equations in the zero Mach number limit is presented. In order to account for the fast and slow waves, the nonlinear fluxes in the Euler equations are split into stiff and non-stiff components, respectively. The time discretisation is performed by an IMEX Runge-Kutta method, therein the stiff terms are treated implicitly and the non-stiff terms explicitly. In the space discretisation, a Rusanov-type central flux is used for the non-stiff part, and simple central differencing for the stiff part. Both the time semi-discrete and space-time fully-discrete schemes are shown to be asymptotic preserving. The numerical experiments confirm that the schemes achieve uniform second order convergence with respect to the Mach number. A notion of accuracy at low Mach numbers, termed as the asymptotic accuracy, is introduced in terms of the invariance of a well-prepared space of constant densities and divergence-free velocities. The asymptotic accuracy is concerned with the closeness of the compressible solution with that of its incompressible counterpart in a low Mach number regime. It is shown theoretically as well as numerically that the proposed schemes are asymptotically accurate.

연구 동기 및 목표

• 유동이 비압축성으로 변할 때, 즉 영 마하수 한계에서 정확하고 안정적인 수치 스킴을 개발하는 것.
• 저마하수준에서의 높은 음파로 인한 강성 문제를 다루는 것.
• 일정한 밀도와 수렴이 없는 속도를 갖는 잘 준비된 초기 조건을 유지함으로써, 스킴이 비압축성 한계를 유지하도록 보장하는 것.
• 모든 마하수준에서 균일한 제2차 수렴을 달성하는 것, 특히 점근적 영역에서도 포함하여.
• 유한체적 스킴에 대해 '점근적 정확성'이라는 새로운 개념을 정의하고 수치적으로 검증하는 것.

제안 방법

• 압축성 유동방정식을 강성 있는(압력 관련) 및 비강성 있는(속도 관련) 성분으로 분리하여 빠른 파동과 느린 파동을 분리한다.
• 강성 항은 암시적으로, 비강성 항은 수치적으로 처리하는 IMEX 룬게쿠타 시간 이산화를 사용하여 강성 문제를 다루고 안정성을 유지한다.
• 비강성 유량에 대해 루사노프 유형의 중심 유량을 사용하여 쌍곡 부분에서의 강건성과 일관성을 확보한다.
• 강성 유량에 대해 공간적으로 단순 중심 차분을 적용하여 제2차 정확성과 점근적 한계와의 일관성을 보장한다.
• 시간 반이산화 및 완전 이산화 스킴이 점근적 보존성을 갖는다는 것을 증명하였으며, 이는 마하수가 0으로 수렴할 때 비압축성 한계로 수렴한다는 것을 의미한다.
• 스킴은 일정한 밀도와 수렴이 없는 속도를 갖는 잘 준비된 다양체를 유지하도록 설계되어 점근적 정확성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제2차 정확도를 갖는 유한체적 스킴이 영 마하수 한계에서 안정성과 정확성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 IMEX 시간 적분을 사용하여 저마하수준 유동에서 음파로 인한 강성을 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ3 압축성 해가 점근적 영역에서 비압축성 해와 가까워지도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 유한체적 스킴에 대해 '점근적 정확성'이라는 개념을 공식적으로 정의하고 수치적으로 검증할 수 있는가?
• RQ5 제안된 스킴이 모든 마하수준, 특히 매우 낮은 값에서도 균일한 제2차 수렴을 달성하는가?

주요 결과

• 제안된 IMEX 유한체적 스킴은 점근적 보존성을 갖는다. 즉, 마하수가 0으로 수렴할 때 비압축성 유동방정식로 수렴한다.
• 이 스킴은 모든 마하수준, 특히 저마하수준 영역에서도 공간과 시간 모두에서 균일한 제2차 수렴을 달성한다.
• 점근적 정확성의 개념은 성공적으로 정의되고 검증되었으며, 이는 저마하수준에서 해가 비압축성 해와 가까이 유지됨을 보장한다.
• 수치 실험 결과는 스킴이 일정한 밀도와 수렴이 없는 속도를 갖는 잘 준비된 다양체를 유지함을 확인하였으며, 이는 점근적 정확성에 필수적이다.
• 유량 분리, IMEX 시간 적분, 중심 공간 이산화의 조합은 양압축성 및 비압축성 유동 영역 모두에서 강건성과 정확성을 보장한다.
• 이론적 분석과 수치 결과는 스킴이 마하수가 0으로 수렴함에 따라 제2차 정확성을 유지함을 함께 입증한다.