[논문 리뷰] Asymptotic properties of estimators in a stable Cox-Ingersoll-Ross model

Zenghu Li, Chunhua Ma|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 15.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 29인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르ально 양성 $\alpha$-스테이블 Lévy 과정($1 < \alpha \leq 2$)에 의해 구동되는 안정적인 Cox-Ingersoll-Ross(SCIR) 모델에서의 드리프트 파라미터에 대한 조건부 최소제곱 추정량(CLSEs)과 가중 조건부 최소제곱 추정량(WCLSEs)의 점근적 성질을 수립한다. 저주파수 이산 관측을 통해 추정량의 일致성과 점근적 정규성을 증명하였으며, 지수적 에르고딕성과 강한 혼합 조건 하에서 고주파수 자료를 이용한 분산 계수에 대한 약한 일致성 추정량을 제안하였다.

ABSTRACT

We study the estimation of a stable Cox-Ingersoll-Ross model, which is a special subcritical continuous-state branching process with immigration. The process is characterized in terms of some stochastic equations. The exponential ergodicity and strong mixing property of the process and the heavy tail behavior of some related random sequences are studied. We also establish the convergence of some point processes and partial sums associated with the model. From those results, we derive the consistency and central limit theorems of the conditional least squares estimators and the weighted conditional least squares estimators of the drift parameters based on low frequency observations. A weakly consistent estimator is also proposed for the volatility coefficient based on high frequency observations.

연구 동기 및 목표

• 중심극한분포를 따르는 Lévy 노이즈를 가진 안정적인 Cox-Ingersoll-Ross 모델에서 드리프트 파라미터에 대한 통계적 추론 방법을 개발한다.
• 기존의 확산 기반 CIR 모델에서의 고전적 추정 기법(CLSEs, WCLSEs)을 더 일반적인 안정적인 Lévy 과정에 의해 구동되는 SCIR 모델로 확장한다.
• 저주파수 이산 관측 기반 추정량에 대한 일치성과 중심극한정리의 수립을 목적으로 한다.
• 고주파수 샘플링을 이용한 분산 계수에 대한 약한 일치 추정량을 제안한다.
• SCIR 과정의 스토케스틱 성질, 특히 지수적 에르고딕성, 강한 혼합성, 관련 수열의 무거운 尾행동 분석을 수행한다.

제안 방법

• 지수적 안정성과 스펙트르ально 양성 $\alpha$-스테이블 Lévy 과정을 갖는 $1 < \alpha \leq 2$ 인 조건 하에서, 고전적 CIR 모델을 일반화한 SCIR 모델을 확률미분방정식 형태로 수립한다.
• Itô의 공식을 적용하여 이산시간 자기상관 회귀 표현 $X_k = \rho + \gamma X_{k-1} + \varepsilon_k$ 를 유도함으로써 조건부 최소제곱 추정이 가능하도록 한다.
• CLSEs와 WCLSEs를 각각 잔차 제곱합 $\sum_{k=1}^n (X_k - \gamma X_{k-1} - \rho)^2$ 과 그 가중형을 최소화하는 방식으로 정의한다.
• SCIR 과정과 관련된 점과정과 부분합의 수렴을 통해 점근적 분포 결과를 도출한다.
• 모멘트 한계와 자기정규화 극한정리들을 활용하여 스토케스틱 적분과 추정 오차의 행동을 제어한다.
• 지배수렴정리와 모멘트 추정을 적용하여 추정 프레임워크 내 핵심 오차 항의 확률 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정적인 CIR 모델에서 드리프트 파라미터 $b$와 $a$에 대한 조건부 최소제곱 추정량(CLSEs)의 점근적 성질은 무엇인가?
• RQ2 가중 조건부 최소제곱 추정량(WCLSEs)은 CLSEs에 비해 한계 분포와 효율성 측면에서 어떻게 향상되는가?
• RQ3 고주파수 관측을 사용할 경우 분산 계수 $\sigma$의 추정 오차의 한계 행동은 어떠한가?
• RQ4 SCIR 과정의 지수적 에르고딕성과 강한 혼합성은 추정량의 점근적 이론을 뒷받침하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 $\alpha$-스테이블 Lévy 노이즈의 중앙극한분포 특성은 추정량의 수렴성과 분포 성질에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 저주파수 샘플링 하에서 드리프트 파arameter $(b, a)$에 대한 CLSEs는 일치성과 점근적 정규성을 확보하며, 수렴 속도는 $n^{-1/2}$ 이다.
• WCLSEs 역시 $(b, a)$에 대해 점근적 정규성을 확보하며, 하위비판 조건 하에서 한계 분포가 가우시안임을 입증하였다.
• 고주파수 관측 기반으로 분산 계수 $\sigma$에 대한 약한 일치 추정량을 제안하였으며, $n \to \infty$ 일 때 확률 수렴을 보였다.
• 과정은 지수적 에르고딕성과 강한 혼합성을 나타내며, 이는 추정량의 점근적 이론 수립에 필수적이다.
• SCIR 모델과 관련된 부분합과 점과정은 분포 수렴을 보이며, 중심극한정리 유도에 기여한다.
• 추정 프레임워크 내 오차 항들은 확률 수렴을 보이며, 모멘트 부등식과 자기정규화 극한정리를 통해 유도된 한계를 통해 제어된다.