[논문 리뷰] Asymptotic Properties of Extremal Polynomials Corresponding to Measures Supported on Analytic Regions

Brian Simanek|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 15.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 해석적 영역과 유한 개의 외부 점에 지지된 조건에서 단위 원판 위의 정규화된 최적 다항식의 $L^q$-노름에 대한 날카운 점근적 추정을 수립한다. 등각 사상과 곱 측도의 변형을 이용하여, Szegő 유형 정리의 일반화와 강한 점근적 성질 및 크리스토펠 함수 추정을 제공하며, 특정 가중치 분해 조건 하에서 단위 원판 위의 직교 다항식의 비율 점근적 수렴의 균일 수렴에 대한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

Let G be a bounded region with simply connected closure and having analytic boundary and let mu be a positive measure carried by the closure of G together with finitely many pure points outside G. We provide estimates on the norms of the monic polynomials of minimal norm in the space L^q(mu) for q>0. In case the norms converge to 0, we provide estimates on the rate of convergence, generalizing several previous results. Our most powerful result concerns measures mu that are perturbations of measures that are absolutely continuous with respect to the push-forward of a product measure near the boundary of the unit disk. Our results and methods also yield information about the strong asymptotics of the extremal polynomials and some information concerning Christoffel functions.

연구 동기 및 목표

• 해석적 경계를 가진 해석적 영역에서 $L^q$-최적 다항식에 대한 Szegő 유형 정리의 일반화.
• 단위 원판 경계 부근에서 절대 연속 측도의 변형이 정규화된 다항식의 노름 점근적 행동에 미치는 영향 분석.
• 일부 가중치 함수에 대해, $\overline{\mathbb{C}}\setminus\overline{\mathbb{D}}$의 컴acts부분에서 비율 점근적 성질 $p_{n+1}(z)/z p_n(z)$ 가 1로의 균일 수렴에 대한 추측 해결.
• 해석적 영역에 지지된 측도와 유한 개의 외부 점 질량을 가진 최적 다항식에 대해 강한 점근적 성질과 크리스토펠 함수 추정 도출.

제안 방법

• 단위 원판의 외부에서 $\overline{G}$의 여집합으로의 등각 사상 $\psi$와 그 역 $\phi$를 이용하여 측도를 이전하고 점근적 성질을 분석.
• 측도의 변형을 모델링하기 위해 $\psi$에 의한 곱 측도의 프로젝션을 적용하여 $L^q$-노름 감쇠율 분석 가능.
• 핵 함수 $K_n(z,w;\mu)$와 그 정규화된 형태를 이용한 강한 점근적 프레임워크를 활용하여, 크리스토펠 함수의 역수인 $\lambda_n(z;\mu,q)$의 극한을 연구.
• 몬텔 정리와 정규 가족을 이용하여 핵 함수의 수렴하는 부분수열을 추출하고, 균일 유계성과 해석적 극한으로의 수렴을 증명.
• 측도의 변화를 $\phi_*$를 통해 $G$ 위 문제를 단위 원 위 문제로 환원하고, $\partial\mathbb{D}$ 위 직교 다항식 이론의 기존 결과를 활용.
• 대칭 측도가 대칭 집합에 지지될 경우 $L^1$-최적 다항식의 비유일성을 대칭성과 $L^1$-노름의 도함수 분석을 통해 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 경계를 가진 해석적 영역에서 정규화된 최적 다항식의 $L^q$-노름이 0으로 수렴하는 조건과 그 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 단위 원판 경계 부근에서 절대 연속 측도의 변형이 최적 다항식의 강한 점근적 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 가중치가 $h(r e^{i\theta}) f(\theta) g(r)$ 형태로 분해되고 $h$가 $\overline{\mathbb{D}}$에서 연속이고 영이 아닐 경우, 비율 점근적 성질 $p_{n+1}(z;\mu,2)/(z p_n(z;\mu,2))$ 가 $\overline{\mathbb{C}}\setminus\overline{\mathbb{D}}$의 컴acts부분에서 1로 균일 수렴하는가?
• RQ4 측도 $\mu$가 원판에 지지되고 라디얼 성분을 포함할 경우, 크리스토펠 함수 $\lambda_n(z;\mu,q)$ 가 원점에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 다양한 $q \in (0,\infty)$ 에 대해 최적 다항식의 점근적 행동을 균일하게 특징지울 수 있는가, 특히 $q=1$일 경우에 대해?

주요 결과

• 해석적 영역 $G$에 지지되고 치수 1인 단순연결 영역이며 유한 개의 외부 점 질량을 가진 측도 $\mu$에 대해, 정규화된 최적 다항식의 $L^q$-노름이 단위 원 위의 프로젝션 측도의 로그 미분에 의해 결정되는 비율로 0으로 수렴함을 증명.
• 정규화된 핵 함수 $Q_{n,z}(w)$ 가 정규 가족을 이루며, 이는 단위 원판의 컴acts부분에서 해석적 극한 함수로 수렴 가능함을 보여 강한 점근적 성질를 확립.
• Saff(1986)의 추측이 확인됨: 만약 단위 원판 위의 가중치가 $w(re^{i\theta}) = h(re^{i\theta}) f(\theta) g(r)$ 형태로 분해되고 $h$가 $\overline{\mathbb{D}}$에서 연속이고 영이 아니면, $\lim_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}(z;\mu,2)}{z p_n(z;\mu,2)} = 1$ 이 $\overline{\mathbb{C}}\setminus\overline{\mathbb{D}}$의 컴acts부분에서 균일하게 성립함.
• 단위 원판 $\overline{\mathbb{D}}$ 위의 측도 $\mu$가 라디얼 성분 $\tau$와 원형 성분 $\nu$를 가질 경우, $\tau$가 0에 질량을 가지며 $\nu \neq \frac{d\theta}{2\pi}$ 이면 $\lambda_\infty(0;\mu,2) > \lambda_\infty(0;\nu,2)$ 를 만족함으로써, 라디얼 질량이 기여하는 엄밀한 증가를 보여줌.
• 논문은 [29]의 정리 2.5.4에 대해 새로운 증명을 제공하며, 원점에서 크리스토펠 함수의 극한 $\lambda_\infty(0;\mu,q)$ 가 $\mu$의 라디얼 및 원형 성분에 의존함을 보임.
• 대칭 측도가 대칭 집합에 지지될 경우, $L^1$-최적 다항식의 비유일성이 입증됨: 홀수 $n$에 대해, $\mu$가 대칭이면서 $[-2,-1] \cup [1,2]$ 에 지지될 경우 $P_n(\mu,1)$ 이 유일하지 않음.