[논문 리뷰] Asymptotic results and statistical procedures for time-changed Lévy processes sampled at hitting times

Mathieu Rosenbaum, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 현재 수준에서 거리 ε인 대칭 장벽에 대한 무작위 도달 시간에 관측된 시간 변화 Lévy 과정에 대해 渐近적 한계와 통계적 추론 절차를 수립한다. ε → 0일 때, 스케일 조정된 과정이 법적으로 α-안정 과정으로 수렴함을 보이며, 추가적인 가정 하에 시간 변화와 Blumenthal-Getoor 지수의 일致 추정과 수렴 속도 및 중심극한정리가 가능하다.

ABSTRACT

We provide asymptotic results and develop high frequency statistical procedures for time-changed Lévy processes sampled at random instants. The sampling times are given by first hitting times of symmetric barriers whose distance with respect to the starting point is equal to $\varepsilon$. This setting can be seen as a first step towards a model for tick-by-tick financial data allowing for large jumps. For a wide class of Lévy processes, we introduce a renormalization depending on $\varepsilon$, under which the Lévy process converges in law to an $α$-stable process as $\varepsilon$ goes to $0$. The convergence is extended to moments of hitting times and overshoots. In particular, these results allow us to construct consistent estimators of the time change and of the Blumenthal-Getoor index of the underlying Lévy process. Convergence rates and a central limit theorem are established under additional assumptions.

연구 동기 및 목표

• 내생적 도달 시간에 관측된 고주파 수치 데이터를 위한 통계 절차 개발, 특히 점프를 수반하는 모델에 초점.
• 장벽 거리 ε → 0일 때, 스케일 조정된 시간 변화 Lévy 과정이 α-안정 한계로 약한 수렴을 보임을 확립.
• 이 관측 체계 하에서 시간 변화와 점프 활동 지수(Blumenthal-Getoor 지수)의 일치 추정기 개발.
• 규칙성 조건 하에서 수렴 속도를 정량화하고, 추정기의 중심극한정리를 확립.
• 점프 활동 지수의 모멘트와 첫 번째 외부 시간 및 오버슈트 기능에 대한 점점적 결과의 확장.

제안 방법

• ε → 0일 때 α-안정 과정으로의 수렴을 연구하기 위해 $ X^{\varepsilon}_t = \varepsilon^{-1}X_{\varepsilon^{\alpha}t} $ 방식으로 과정을 스케일 조정.
• C-긴장성과 Skorohod 위상 구조를 이용하여 스케일 조정된 과정과 관련 기능의 약한 수렴을 증명.
• 첫 번째 도달 시간 $ T^{\varepsilon}_i = \inf\{t > T^{\varepsilon}_{i-1} : |Y_t - Y_{T^{\varepsilon}_{i-1}}| \geq \varepsilon\} $ 을 통해 관측 체계 정의.
• 통계적 추론을 위해 $ V^{\varepsilon}(f)_t = \sum_{T^{\varepsilon}_i \leq t} f(\varepsilon^{-1}(Y_{T^{\varepsilon}_i} - Y_{T^{\varepsilon}_{i-1}})) $ 형태의 추정기 구성.
• $ \mathbb{E}[\tau^{\varepsilon}_1] $ 및 $ \text{Var}(\tau^{\varepsilon}_1) $ 에 대한 가정 하에 Kolmogorov 부등식과 모멘트 유계를 적용하여 수렴 속도 유도.
• Skorohod 표현 정리를 적용하여 시간 변화 과정의 스키토호드 위상에서 거의 확실한 수렴 확립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 sampling 장벽 ε가 0에 접근함에 따라 스케일 조정된 시간 변화 Lévy 과정이 법적으로 α-안정 과정으로 수렴하는가?
• RQ2 첫 번째 외부 시간과 오버슈트의 모멘트가 제한적 α-안정 과정의 그것들과 수렴하는가?
• RQ3 이 도달 시간 관측 체계 하에서 시간 변화와 Blumenthal-Getoor 지수의 일치 추정기가 가능한가?
• RQ4 스케일 조정된 과정에서 유도된 기능과 추정기의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 추가적인 규칙성 조건 하에서 추정기의 중심극한정리가 성립하는가?

주요 결과

• ε → 0일 때, 확률적 성질이 양호한 Lévy 과정의 광범위한 클래스에 대해 스케일 조정된 과정 $ X^\varepsilon $ 이 법적으로 α-안정 Lévy 과정으로 수렴함을 보였다. 이는 확산 성분이 있거나 비영인 드리프트를 가진 경우에도 성립한다.
• 첫 번째 외부 시간과 오버슈트 기능의 모멘트가 제한적 α-안정 과정의 대응 모멘트로 수렴하며, 이는 종종 명시적으로 알려져 있다.
• 기능 $ V^{\varepsilon}(f)_t $ 는 대수의 법칙을 만족하여 Blumenthal-Getoor 지수와 시간 변화 특성의 일치 추정이 가능하다.
• 추가적인 모멘트 조건 하에서 추정기의 수렴 속도는 $ \varepsilon^{-(1-\delta-\beta) \vee -1/2} $ 이며, 과정은 확률적으로 균일하게 0으로 수렴한다.
• 추정기의 다변량 중심극한정리가 확립되어, 규칙성 조건 하에서 점점적 정규성을 확인한다.
• $ \varepsilon^{-\alpha/2}(Z^{\varepsilon}_{\varepsilon^{\alpha}M^{\varepsilon}_t} - t) \to 0 $ 의 수렴은 타이트니스와 스케일 조정 체계에서의 균일 수렴을 보장한다.