[논문 리뷰] Asymptotic results for Representation Theory

Dario De Stavola|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 10.

Random Matrices and Applications참고 문헌 90인용 수 5

한 줄 요약

이 학위논문은 유한군의 표현에 대한 渐近 결과를 수립하며, 대칭군과 상부 단일삼각군 위의 플랑카렐 측도에 초점을 맞춘다. 케로프의 플랑카렐 특성에 대한 중심극한정리(플랑카렐 특성에 대한 중심극한정리)를 줄리스-머피 요소를 통해 확장하고, 부분합에 대한 대수법칙을 증명하며, 슈퍼표현이론에 대한 슈퍼플랑카렐 측도를 도입하고, 집합 분할에 대한 극한 형태를 도출한다. 주요 기여는 다직사각좌표에서의 프로젝티브 특성다항식에 대한 다항성 및 양성 추측이다.

ABSTRACT

Representation theory of finite groups portrays a marvelous crossroad of group theory, algebraic combinatorics, and probability. In particular the Plancherel measure is a probability that arises naturally from representation theory, and in this thesis we consider three ramifications of asymptotic questions for random Plancherel distributed representations. First we recall irreducible characters of the symmetric group, which are indexed by integer partitions. We focus on the so called 'dual approach', in which the partition indexing a character is now considered to be the variable. We extend a famous result of Kerov on the asymptotic of Plancherel distributed characters by studying partial trace and partial sum of a representation matrix. We decompose each of these objects into a main term and a remainder, and in each case we prove a central limit theorem for the main term. We apply these results to prove a law of large numbers for the partial sum. In the second part we consider projective representations of the symmetric group by converting a multirectangular approach developed by Stanley for the classical case. In particular, we present a positivity conjecture for the coefficients of the renormalized projective character, written as a polynomial in a new set of coordinates. We prove the positivity for the leading term of the polynomial. In the last part of the thesis we recall the theory of supercharacters, which is an alternative tool to representation theory when the classical approach proves to be intractable. We show that a generalization of the Plancherel measure, called the superplancherel measure, arises naturally. We focus on a particular supercharacter theory for the upper unitriangular group in which supercharacters are indexed by set partitions. We prove a limit shape result for a random set partition according to this distribution.

연구 동기 및 목표

• 대칭군의 플랑카렐 분포를 가진 특성에 대해 부분 추적과 표현 행렬의 합을 이용하여 케로프의 渐近 결과를 확장한다.
• 줄리스-머피 요소와 대칭함수 전개를 통해 기약 특성과 양의도 사이의 이중성을 조사한다.
• 상부 단일삼각군의 슈퍼표현이론으로의 플랑카렐 측도를 일반화하고, 극한 형태 결과를 도출한다.
• 고전적 표현이론과 프로젝티브 표현이론 사이의 조합론적 유사성, 특히 엄격 분할에 대한 다직사각좌표에서의 유사성을 탐색한다.
• 그룹 행렬식 다항식의 기약성에 기반한 정수 슈퍼표현이론의 최소성 기준을 제안한다.

제안 방법

• 표현 행렬의 부분 추적과 부분합을 주항목과 잔여항으로 분해하고, 주항목에 중심극한정리를 적용한다.
• 줄리스-머피 요소에 대한 대칭함수 전개를 이용해 특성의 渐近 행동을 분석한다.
• 스탄리의 고전적 양의도의 다직사각좌표 매개화를 엄격 분할을 위한 이동된 양의도로 번역한다.
• 상부 단일삼각군의 슈퍼특성으로 인덱싱된 집합 분할 위에 슈퍼플랑카렐 측도를 정의한다.
• 그룹 행렬식 구성법을 슈퍼특성에 적용하여, Θχ(G)의 기약성과 슈퍼표현이론의 최소성 간의 연관성을 설정한다.
• 슈퍼플랑카렐 측도 하에서 집합 분할의 두 통계량의 渐近 행동을 분석하여, 균일 분포 하의 이전 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플랑카렐 측도 하에서 표현 행렬의 부분 추적과 부분합은 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ2 표현 행렬의 부분 추적과 부분합 분해의 주항목에 대해 중심극한정리를 확립할 수 있는가?
• RQ3 슈퍼플랑카렐 측도 하에서 플랑카렐 분포를 가진 엄격 분할의 극한 형태는 무엇이며, 균일 위상으로 확장되는가?
• RQ4 다직사각좌표에서 정규화된 프로젝티브 특성은 다항식인가? 그리고 그 계수들은 양성성을 보이는가?
• RQ5 ℤ 위에서 Θχ(G)의 기약성은 정수 슈퍼표현이론의 최소성 기준으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 플랑카렐 측도 하에서 표현 행렬의 부분 추적과 부분합 분해의 주항목에 대해 중심극한정리를 증명하였다.
• 표현 행렬의 부분합에 대해 대수법칙을 확립하였으며, 이는 주항목의 渐近 행동에서 유도되었다.
• 다직사각좌표에서 표현된 정규화된 프로젝티브 특성다항식이 다항식이며, 주계수는 양수임을 보였다.
• 이 다항식의 모든 계수가 음이 아닌 것으로 추측하였으며, 이는 스탠리의 결과를 프로젝티브 경우로 확장하는 것이다.
• 집합 분할 위의 슈퍼플랑카렐 측도에 대해 극한 형태 결과를 증명하였으며, 이는 이바노프의 결과를 균일 위상으로 일반화한 것이다.
• 슈퍼플랑카렐 측도 하에서 집합 분할의 두 통계량의 渐近 행동을 기술하였으며, 이는 이전의 균일 분포 하의 결과를 확장한 것이다.