[논문 리뷰] Asymptotic rigidity of Riemannian manifolds

Raz Kupferman, Cy Maor외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 31.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 23인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 리만다이니안 다양체에 대해 두 개의 점근적 강성 정리( rigidity theorems)를 수립한다: 첫째, 거의 everywhere에서 방향을 유지하는 등거리 미분을 갖는 리프시츠 연속 함수는 등거리 임mersi온임을 보이며, 일반화된 피올라 항등식을 사용한다. 둘째, 방향을 유지하는 등거리 사상으로 $L^p$ 수렴하는 미분을 갖는 함수의 수열은 등거리 임머서션으로 부분수열 수렴한다. 이러한 결과들은 리만다이니안 설정으로 리우빌과 레슈티냐크의 고전적 결과를 일반화하며, 비유클리드 탄성 및 다양체 수렴에 응용된다.

ABSTRACT

We prove two rigidity theorems for maps between Riemannian manifolds. First, we prove that a Lipschitz map $f:M o N$ between two oriented Riemannian manifolds, whose differential is almost everywhere an orientation-preserving isometry, is an isometric immersion. This theorem was previously proved using regularity theory for conformal maps; we give a new, simple proof, by generalizing the Piola identity for the cofactor operator. Second, we prove that if there exists a sequence of mapping $f_n:M o N$, whose differentials converge in $L^p$ to the set of orientation-preserving isometries, then there exists a subsequence converging to an isometric immersion. These results are generalizations of celebrated rigidity theorems by Liouville (1850) and Reshetnyak (1967) from Euclidean to Riemannian settings. Finally, we describe applications of these theorems to non-Euclidean elasticity and to convergence notions of manifolds.

연구 동기 및 목표

• 유럽에서 리만다이니안 다양체로 리우빌(1850)과 레슈티냐크(1967)의 고전적 강성 정리를 확장하기.
• 등거리 미분을 거의 everywhere에서 갖는 리프시츠 함수에 대한 등거리 임머서션 강성의 새로운 증명을 제시하여, 등각적 정규성 이론에 의존하지 않도록 한다.
• 미분이 방향을 유지하는 등거리 사상의 집합으로 $L^p$ 수렴하는 함수 수열의 점근적 행동을 규명한다.
• 비유클리드 탄성 및 리만다이니안 다양체 수렴에 대한 이론적 기반을 제공한다.

제안 방법

• 함수의 미분의 코프터를 분석하기 위해 고전적 피올라 항등식을 리만다이니안 설정으로 일반화한다.
• 일반화된 피올라 항등식을 사용하여, 거의 everywhere에서 방향을 유지하는 등거리 미분을 갖는 리프시츠 함수는 등거리 임머서션임을 증명한다.
• 함수 수열의 미분이 방향을 유지하는 등거리 사상의 집합으로 $L^p$에서 약한 수렴하는 것을 분석한다.
• 콤���턴스 추론을 적용하여 등거리 임머서션으로 수렴하는 부분수열을 추출한다.
• $L^p$ 수렴과 등거리 극한 함수의 존재 사이의 연관성을 확립한다.
• 특히 탄성 및 기하적 수렴에서 중요한 비유클리드 설정을 다룰 수 있도록 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향을 유지하는 등거리 미분을 거의 everywhere에서 갖는 리만다이니안 다양체 사이의 리프시츠 함수가 등거리 임머서션으로서 작용하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 등거리 임머서션의 강성은 등각적 함수에 대한 정규성 이론에 의존하지 않고도 확립될 수 있는가?
• RQ3 미분이 방향을 유지하는 등거리 사상의 집합으로 $L^p$ 수렴하는 함수 수열의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 이러한 강성 결과는 비유클리드 기하학, 특히 탄성 모델에서 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 이 정리들은 리만다이니안 다양체의 수렴 개념에 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 방향이 있는 리만다이니안 다양체 $M$에서 $N$으로의 리프시츠 함수 $f: M \to N$가 거의 everywhere에서 방향을 유지하는 등거리 미분을 갖는다면, 이는 등거리 임머서션이다.
• 등각적 정규성 이론에 의존하지 않기 위해 리만다이니안 맥락에서 일반화된 피올라 항등식을 도입함으로써 증명이 이루어진다.
• 함수 수열 $f_n: M \to N$에 대해, 만약 그들의 미분이 방향을 유지하는 등거리 사상의 집합으로 $L^p$ 수렴한다면, 부분수열이 등거리 임머서션으로 수렴한다.
• 결과들은 리우빌의 등각 함수에 대한 정리와 레슈티냐크의 강성 정리를 리만다이니안 다양체로 일반화한다.
• 정리는 등거리 변형이 핵심이 되는 비유클리드 탄성 분석을 위한 기초를 제공한다.
• 프레임워크는 제어된 미분을 갖는 함수 수열의 행동을 통해 리만다이니안 다양체의 수렴을 연구하는 데 기여한다.