[논문 리뷰] Asymptotic Spectral Formula for Empirical Measures of Diffusion Processes on Riemannian Manifolds

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 22인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 리만 다양체 위의 확산 과정의 경험 측도와 그 불변 측도 사이의 기대 제곱 워셔스타인 거리에 대한 渐近 스펙트럼 공식을 수립한다. 수렴 속도는 다이아몬드의 차원에 따라 달라지며, d ≤ 3인 경우 한계는 유한하고 중심극한정리가 성립한다. d ≥ 4인 경우 수렴 속도는 t⁻²/(d−2)이며, 생성자 L의 고유값을 포함하는 명시적 스펙트럼 공식이 존재한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a compact connected Riemannian manifold possibly with a boundary, let $V\in C^2(M)$ such that $\mu(d x):=e^{V(x)}d x$ is a probability measure, and let $\{\lambda_i\}_{i\ge 1} $ be all non-trivial eigenvalues of $-L$ with Neumann boundary condition if the boundary exists. Then the empirical measures $\{\mu_t\}_{t>0}$ of the diffusion process generated by $L$ (with reflecting boundary if the boundary exists) satisfy $$ \lim_{t o \infty} \big\{t \mathbb E^x [W_2(\mu_{t},\mu)^2]\big\}= \sum_{i=1}^\infty\frac 2 {\lambda_i^2} ext{ uniformly } x\in M,$$ where $\mathbb E^x$ denotes the expectation for the diffusion process starting at point $x$, $W_2$ is the $L^2$-Warsserstein distance induced by the Riemannian metric. The limit is finite if and only if $d\le 3$, and in this case we derive the following central limit theorem: $$\lim_{t o\infty} \sup_{x\in M} \Big|\mathbb P^x(t W_2(\mu_{t},\mu)^2<a)- \mathbb P\Big( \sum_{k=1}^\infty \frac{2\xi_k^2}{\lambda_k^2}<a\Big)\Big|=0, \ a\ge 0,$$ where $\mathbb P^x$ is the probability with respect to $\mathbb E^x$, and $\{\xi_k\}_{k\ge 1}$ are i.i.d. standard Gaussian random variables. Moreover, when $d\ge 4$ we prove that the main order of $\mathbb E^x[W_2(\mu_{t},\mu)^2]$ is $t^{-\frac 2 {d-2}}$ as $t o\infty$. Moreover, when $d\ge 4$ the main order of $\mathbb E^x[W_2(\mu_{t},\mu)^2]$ is $t^{-\frac 2 {d-2}}$ as $t o\infty$. The main result is extended to modified empirical measures of the diffusion process on a class of non-compact Riemannian manifolds with or without boundary.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 리만 다이아몬드 위의 확산 과정의 경험 측도와 그 불변 측도 사이의 기대 제곱 L²-워셔스타인 거리에 대한 渐近 공식 유도.
• 노이만 경계 조건을 갖는 생성자 L의 스펙트럼을 통해 경험 측도가 불변 측도로 수렴하는 속도를 특성화.
• 낮은 차원(d ≤ 3)에서 워셔스타인 거리에 대한 중심극한정리 수립 및 높은 차원(d ≥ 4)에서의 주요 행동 특성 규명.
• 경계가 있는지 여부에 관계없이 비콤팩트 리만 다이아몬드의 일정한 클래스로 결과 확장.
• 확산 생성자에 대한 스펙트럼 성질을 통해 경험 측도의 장기적 행동을 차원에 따라 특성화.

제안 방법

• 컴팩트 리만 다이아몬드 M 위에서 노이만 경계 조건을 갖는 생성자 $-L$의 스펙트럼 분해를 사용하여 워셔스타인 거리의 점점 증가 행동을 표현.
• 리만 기하학적 메트릭에 의해 유도되는 $L^2$-워셔스타인 거리 $W_2$를 사용하여 경험 측도와 불변 측도 간의 이질성을 정량화.
• 한계 $\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] = \sum_{i=1}^\infty \frac{2}{\lambda_i^2}$의 유도 (모든 $x \in M$ 에 대해 균일하게 성립함), 여기서 $\lambda_i$ 는 $-L$ 의 비자명한 고유값.
• d ≤ 3에서 중심극한정리의 증명: $t W_2(\mu_t, \mu)^2$ 가 독립 동일분포 표준 정규분포 변수 $\xi_k$ 를 포함하는 스케일된 $\chi^2$-분포 변수들의 합으로 분포 수렴을 보임.
• d ≥ 4에서 스펙트럼 감쇠와 차원에 의존하는 추정치를 사용하여 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] \sim c \cdot t^{-2/(d-2)}$ 의 주요 행동 특성 규명.
• 잠재력과 곡률에 대한 적절한 기하학적 및 해석적 가정 하에, 비콤팩트 리만 다이아몬드 위의 수정된 경험 측도로 결과 확장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 리만 다이아몬드 위의 확산 과정에 대해 $t \to \infty$ 일 때 기대 제곱 워셔스타인 거리 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ 의 점점 증가 행동은 무엇인가요?
• RQ2 다이아몬드의 차원 $d$ 는 워셔스타인 거리 기준으로 경험 측도가 불변 측도로 수렴하는 속도에 어떻게 영향을 미치나요?
• RQ3 장기적 한계에서 스케일링된 워셔스타인 거리에 대해 중심극한정리가 성립하는 조건은 무엇인가요?
• RQ4 차원 $d \geq 4$ 일 때 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ 의 주요 행동 특성은 무엇인가요?
• RQ5 스펙트럼 공식과 수렴 결과는 경계가 있는지 여부에 관계없이 비콤팩트 리만 다이아몬드로 확장될 수 있나요?

주요 결과

• 모든 $x \in M$ 에 대해 균일하게 $\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] = \sum_{i=1}^\infty \frac{2}{\lambda_i^2}$ 이 성립하며, 여기서 $\lambda_i$ 는 노이만 경계 조건을 갖는 $-L$ 의 비자명한 고유값이다.
• 이 한계가 유한한 것은 차원 $d \leq 3$ 인 것과 동치이며, 이는 수렴 행동에 대한 근본적인 차원 의존성 임계값을 나타낸다.
• d ≤ 3 인 경우 중심극한정리가 성립한다: $\sup_{x \in M} \left| \mathbb{P}^x(t W_2(\mu_t, \mu)^2 < a) - \mathbb{P}\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{2\xi_k^2}{\lambda_k^2} < a \right) \right| \to 0$ 이 $t \to \infty$ 일 때 성립하며, $\xi_k$ 는 독립 동일분포 표준 정규분포 변수이다.
• d ≥ 4 인 경우 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ 의 주요 행동 특성은 $t^{-2/(d-2)}$ 이며, 이는 고차원에서의 느린 수렴을 정량화한다.
• 스펙트럼 공식과 수렴 결과는 적절한 기하학적 및 잠재력 조건 하에 경계가 있는지 여부에 관계없이 비콤팩트 리만 다이아몬드 위의 수정된 경험 측도로 확장된다.
• 결과는 생성자 $L$ 의 스펙트럼 성질, 다이아몬드의 기하학적 성질, 워셔스타인 거리 기준으로 경험 측도의 장기적 수렴 속도 사이의 정밀한 연결을 수립한다.