[논문 리뷰] Asymptotic symmetry and local behavior of solutions of higher order conformally invariant equations with isolated singularities

Tianling Jin, Jingang Xiong|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 07.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 45인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 내 고차수 등각 불변 미분방정식의 고립 특이점을 가진 양해석적 해에 대해 날카운 폭발 속도와 점근적 중심대칭성을 확립한다. 국소 적분방정식에 대한 폭발 분석을 통해 Caffarelli-Gidas-Spruck 정리가 고차수 방정식으로 확장되며, 고립 특이점 근처의 해가 정확한 감쇠 속도와 중심대칭성을 갖는 Fowler 해와 유사하게 행동함을 증명한다. 이는 하위항 오차 항까지의 중심대칭성을 포함한다.

ABSTRACT

We prove sharp blow up rates of solutions of higher order conformally invariant equations in a bounded domain with an isolated singularity, and show the asymptotic radial symmetry of the solutions near the singularity. This is an extension of the celebrated theorem of Caffarelli-Gidas-Spruck for the second order Yamabe equation with isolated singularities to higher order equations. Our approach uses blow up analysis for local integral equations, and is unified for all critical elliptic equations of order smaller than the dimension. We also prove the existence of Fowler solutions to the global equations, and establish a sup*inf type Harnack inequality of Schoen for integral equations.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 차수의 Yamabe 방정식에 대한 고전적인 Caffarelli-Gidas-Spruck 정리에서 점근적 대칭성과 폭발 속도에 대한 결과를 고차수 등각 불변 방정식으로 확장한다.
• 유계 도메인 내 고립 특이점 근처의 양해석적 해에 대한 폭발 속도에 대해 날카운 상한과 하한을 확립한다.
• 고립 특이점 근처의 해가 하위항 오차 항까지의 점근적 중심대칭성을 보임을 증명한다.
• 전역 고차수 방정식에 대해 Fowler 유형의 해가 존재함을 보이며, 적분방정식에 대해 sup*inf Harnack 부등식을 수립한다.
• 모든 임계 타원 방정식(차수 < 차원)에 대한 분석을 하나의 프레임워크를 통해 통합하며, 이는 적분방정식과 폭발 기법에 기반한다.

제안 방법

• 고립 특이점 근처의 해 행동을 연구하기 위해 국소 적분방정식에 대한 폭발 분석을 활용한다.
• 등각 불변성을 유지하고 역행사상 하에서 해의 구조를 분석하기 위해 Kelvin 변환을 사용한다.
• 반복 라플라스 연산자에 대한 부호 조건 하에 최대원리와 이동평면 방법을 적용하여 중심대칭성을 확보한다.
• 모델 해(Fowler 해)와의 비교 및 구면 평균을 통해 날카운 감쇠 추정을 도출한다.
• Green의 함수와 경계층 행동에 대한 정밀한 추정을 통해 Schoen 유형의 sup*inf Harnack 부등식을 적분방정식에 대해 수립한다.
• 적분 추정과 결합한 이동평면 방법을 사용하여 특이점 근처의 해의 중심대칭성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고립 특이점을 가진 고차수 등각 불변 방정식의 양해석적 해에 대해, 유계 도메인 내에서의 폭발 속도는 무엇인가?
• RQ2 두 번째 차수 이상의 고차수 방정식에서, 고립 특이점 근처의 해에 대한 점근적 중심대칭성이 어느 정도 유지되는가?
• RQ3 전역 고차수 등각 불변 방정식에 대해 Fowler 해를 구성할 수 있으며, 그 역할은 특이 행동을 특성화하는 데 무엇인가?
• RQ4 고차수 등각 불변 방정식에서 유도된 적분방정식에 대해 sup*inf Harnack 부등식을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ5 반복 라플라스 연산자에 대한 부호 조건이 특이점 근처에서 어떤 조건에서 성립하며, 해의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• B_1 \setminus \{0\} 내에서 $(-\triangle)^m u = u^{(n+2m)/(n-2m)}$ 를 만족하는 해는 원점 근처에서 $C^{-1}|x|^{-(n-2m)/2} \leq u(x) \leq C|x|^{-(n-2m)/2}$ 라는 날카운 추정을 만족한다. 여기서 $1 \leq m < n/2$ 이다.
• 해는 점근적 중심대칭성을 보이며, $x \to 0$ 일 때 $u(x) = \bar{u}(|x|)(1 + O(|x|))$ 를 만족한다. 여기서 $\bar{u}$ 는 구면 평균이다.
• 제거 불가능한 특이점이 존재할 경우, 어떤 $\alpha > 0$ 에 대해 $u(x) = u^*(|x|)(1 + O(|x|^{\alpha}))$ 를 만족하는 Fowler 해 $u^*$ 가 존재한다.
• 주어진 조건 하에, 특이점의 점근적 이웃 영역 내에서 $(-\triangle)^k u \geq 0$ 이 $k=1,\dots,m-1$ 에 대해 유지된다.
• 방정식의 적분형에 대해 Schoen 유형의 sup*inf Harnack 부등식이 수립된다.
• 분석은 모든 차수 < 차원인 임계 타원 방정식에 대해 균일하게 적용되며, 고차수 등각 불변 방정식에 대한 통합된 프레임워크를 제공한다.